一道轮换不等式的证明

a,b,c是正实数,且满足abc=1.对任意正整数n2,求证:cycanb+c3n2


证明 法一(排序不等式)

由排序不等式可知,
anb+c+bnc+a+cna+b12(b+cnb+c+c+anc+a+a+bna+b)32[(a+b)(b+c)(c+a)]13(11n)32211n=3n2.

法二(权方和不等式)

利用权方和不等式,有cycanb+c=cyca1+1n(ab+ca)1n(a+b+c)1+1n(2ab+2bc+2ca)1n=(a+b+c)1+1nn2(ab+bc+ca)1n,因此只需要证明(a+b+c)1+1n3(ab+bc+ca)1n,也即(a+b+c)n+13n(ab+bc+ca).(a+b+c)n+1=(a+b+c)2(a+b+c)n13(ab+bc+ca)(33abc)n1=3n(ab+bc+ca),因此原不等式得证.

法三(琴生不等式)

a+b+c=t,令f(x)=x(tx)1n (0<x<t),则
f(x)=2nt+(1n)xn2(tx)2+1n>0,故由琴生不等式可知,f(a)+f(b)+f(c)3f(a+b+c3),即
anb+c+bnc+a+cna+b3n2(t3)11n3n2.

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