设a,b,c是正实数,且满足abc=1.对任意正整数n⩾2,求证:∑cycan√b+c⩾3n√2.
证明 法一(排序不等式)
由排序不等式可知,
an√b+c+bn√c+a+cn√a+b⩾12(b+cn√b+c+c+an√c+a+a+bn√a+b)⩾32⋅[(a+b)(b+c)(c+a)]13(1−1n)⩾32⋅21−1n=3n√2.
法二(权方和不等式)
利用权方和不等式,有∑cycan√b+c=∑cyca1+1n(ab+ca)1n⩾(a+b+c)1+1n(2ab+2bc+2ca)1n=(a+b+c)1+1nn√2⋅(ab+bc+ca)1n,因此只需要证明(a+b+c)1+1n⩾3(ab+bc+ca)1n,也即(a+b+c)n+1⩾3n⋅(ab+bc+ca).而(a+b+c)n+1=(a+b+c)2⋅(a+b+c)n−1⩾3(ab+bc+ca)⋅(33√abc)n−1=3n⋅(ab+bc+ca),因此原不等式得证.
法三(琴生不等式)
设a+b+c=t,令f(x)=x(t−x)1n (0<x<t),则
f″(x)=2nt+(1−n)xn2(t−x)2+1n>0,故由琴生不等式可知,f(a)+f(b)+f(c)3⩾f(a+b+c3),即
an√b+c+bn√c+a+cn√a+b⩾3n√2⋅(t3)1−1n⩾3n√2.