2017年高考北京卷理科压轴题详解

(理8)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080,则下列各数中与MN最接近的是(  )(参考数据lg30.48)

A.1033
B.1053
C.1073
D.1093


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分析与解 D.

考虑到M3361=10361lg310173.28N1093.28,因此选项D符合题意.


(理14)三名工人加工同一种零件,他们在一天中的工作情况如图所示,其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数,点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数,i=1,2,3

(1) 记Qi为第i名工人在这一天加工的零件总数,则Q1,Q2,Q3中最大的是_______;

(2) 记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数,则p1,p2,p3中最大的是_______.

分析与解 (1)Q1;(2)p2

(1)比较线段AiBi的中点Mi的纵坐标大小即可;

(2)比较直线OMi的斜率大小即可.


(理18)已知抛物线C:y2=2px过点P(1,1),过点(0,12)作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N.过点Mx轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中O为原点.(1) 求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;

(2) 求证:A为线段BM的中点.

分析与解 (1) 根据题意可得p=12,于是抛物线C的方程为y2=x,焦点坐标为(14,0),准线方程为x=14

(2) 设M(m2,m)N(n2,n),则m2nn2mm2n2=12,1m+1n=2.此时A(m2,m2)B(m2,m2n),因此A为线段BM的中点即m+m2n=2m2,这显然成立,原命题得证.


(理19)已知函数f(x)=excosxx

(1) 求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;

(2) 求函数f(x)在区间[0,π2]上的最大值和最小值.

分析与解 (1) 函数f(x)的导函数f(x)=ex(cosxsinx)1,于是所求的切线方程为y=f(0)x+f(0),y=1

(2) 函数f(x)的导函数f于是在区间\left[0,\dfrac{\pi}2\right]上,f''(x)\leqslant 0f'(x)单调递减;又f'(0)=0,于是f'(x)\leqslant 0f(x)单调递减.因此函数f(x)在区间\left[0,\dfrac{\pi}2\right]的最大值为f(0)=1,最小值为f\left(\dfrac{\pi}2\right)=-\dfrac{\pi}2


(题20)设\{a_n\}\{b_n\}是两个等差数列,记c_n=\max\{b_1-a_1n,b_2-a_2n,\cdots,b_n-a_nn\},其中n=1,2,3,\cdots\max\{x_1,x_2,\cdots,x_s\}表示x_1,x_2,\cdots,x_ss个数中最大的数.

(1) 若a_n=nb_n=2n-1,求c_1,c_2,c_3的值,并证明\{c_n\}是等差数列;

(2) 证明:或者对任意正数M,存在正整数m,当n\geqslant m时,\dfrac{c_n}{n}>M;或者存在正整数m,使得c_m,c_{m+1},c_{m+2},\cdots是等差数列.

分析与解 (1) 根据定义,有\begin{split} c_1&=b_1-a_1=0,\\c_2&=\max\{b_1-2a_1,b_2-2a_2\}=\max\{-1,-1\}=-1,\\c_3&=\max\{b_1-3a_1,b_2-3a_2,b_3-3a_3\}=\max\{-2,-3,-4\}=-2.\end{split}事实上,设x_k=2k-1-kn,则有c_n=\max\{x_1,x_2,\cdots,x_n\},n\geqslant 2,且k=2,3,\cdots,n时,有x_k-x_{k-1}=2-n\leqslant 0,于是c_n=x_1=1-n,结合c_1=0,因此数列\{c_n\}是等差数列.

(2) 不妨设a_n=a_0+nd_1b_n=b_0+nd_2,其中n\in \mathbb N^*.考虑x_k=b_0+kd_2-(a_0+kd_1)n=(b_0-a_0n)+(d_2-d_1n)k,这是关于k的等差数列,因此c_n=\max\{c_1,c_n\}=\max\{b_1-a_1n,b_0+(d_2-a_0)n-d_1n^2\}.考虑函数f(x)=b_1-a_1x和函数g(x)=b_0+(d_2-a_0)x-d_1x^2,分类讨论如下.

情形一 d_1\ne 0.此时f(x)的图象是直线,g(x)的图象是抛物线,无论直线与抛物线的位置关系如何,必然存在正整数m_0,使得\forall x\geqslant m_0,\max\{f(x),g(x)\}=f(x),\forall x\geqslant m_0,\max\{f(x),g(x)\}=g(x).\forall x\geqslant m_0,\max\{f(x),g(x)\}=f(x)时,取m=m_0,有c_m,c_{m+1},c_{m+2},\cdots是等差数列;而当\forall x\geqslant m_0,\max\{f(x),g(x)\}=g(x)时,必然有g(x)开口向上,即-d_1>0,因此\dfrac{g(x)}x=\dfrac{b_0}x-d_1x+(d_2-a_0),对任意正数M,必然存在正整数m_1,使得当x\geqslant m_1时,有\dfrac{g(x)}{x}>M,此时取m=\max\{m_0,m_1\},可得当n\geqslant m时,\dfrac{c_n}{n}>M

情形二 d_1=0.此时f(x)g(x)的图象都是直线,无论这两条直线位置关系如何,必然存在正整数m,使得\forall x\geqslant m,\max\{f(x),g(x)\}=f(x),\forall x\geqslant m,\max\{f(x),g(x)\}=g(x),这就意味着c_m,c_{m+1},c_{m+2},\cdots是等差数列.

综上所述,原命题得证.

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