级数收敛

设$a_n=\displaystyle \sum_{k=1}^n\dfrac 1k-\ln n$．

(1) 求证：$\displaystyle \lim_{n\to +\infty}a_n$存在；

(2) 记$\displaystyle \lim_{n\to +\infty}a_n=C$，讨论级数$\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\left(a_n-C\right)$的敛散性．

分析与解　(1) 我们熟知当$x>0$且$x\ne 1$时，有$\ln x< x-1$，将$x=\dfrac n{n+1}$代入，有 $$-\ln\dfrac{n+1}{n}<-\dfrac{1}{n+1},$$ 于是 $$a_{n+1}-a_n=\dfrac{1}{n+1}-\ln\dfrac{n+1}{n}<0,$$ 因此$\{a_n\}$单调递减．又 $$\sum_{k=1}^n\dfrac 1k=\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac 1k+\dfrac 1n\geqslant \int_{1}^n\dfrac 1x{\rm d} x+\dfrac 12\left(1-\dfrac 1n\right)+\dfrac 1n=\ln n+\dfrac{n+1}{2n}>\ln n+\dfrac 12,$$ 于是$\{a_n\}$有下界$\dfrac 12$．于是$\displaystyle \lim_{n\to +\infty}a_n$存在．

(2) 考虑到 $$a_n=1+\sum_{k=2}^n\left(\dfrac 1k-\ln\dfrac{k}{k-1}\right),$$ 而该级数收敛于$C$，且$a_n-C>0$，考虑 $$a_n-C=\sum_{k=n+1}^{+\infty}\left(\ln\dfrac{k}{k-1}-\dfrac 1k\right).$$ 我们熟知，当$x>1$时，有$\ln x>\dfrac{2(x-1)}{x+1}$，令$x=\dfrac{k}{k-1}$，则有 $$\ln\dfrac{k}{k-1}>\dfrac{2}{2k-1},$$ 于是 $$a_n-C>\sum_{k=n+1}^{+\infty}\left(\dfrac{2}{2k-1}-\dfrac 1k\right)=\sum_{k=n+1}^{+\infty}\dfrac{1}{k(2k-1)}>\dfrac 12\sum_{k=n+1}^{+\infty}\left(\dfrac 1{k-\dfrac 12}-\dfrac 1{k+\dfrac 12}\right)=\dfrac{1}{2n+1}.$$ 由于级数$\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{2n+1}$发散，所以级数$\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\left(a_n-C\right)$发散．

注　有趣的是，考虑到 $$b_n=a_n-\dfrac{1}{2n},$$ 则 $$\lim_{n\to+\infty}b_n=\lim_{n\to+\infty}a_n=C.$$ 而 $$b_{n+1}-b_n=\dfrac{1}{n+1}-\ln\dfrac{n+1}{n}+\dfrac{1}{2n(n+1)}=\dfrac{2n+1}{2n(n+1)}-\ln\left(1+\dfrac 1n\right).$$ 考虑函数 $$\varphi(x)=\ln x-\dfrac{x^2-1}{2x},$$ 在$x>1$时，有$\varphi(x)<0$．令$x=1+\dfrac 1n$，于是就得到了 $$b_{n+1}-b_n>0,$$ 进而$\{b_n\}$单调递增．