[竞赛] 三角不等式一则

 在三角形$ABC$中，$5\cos A+6\cos B+7\cos C=9$，求证： $$\sin^2\dfrac{A}{2}+\sin^3\dfrac{B}{2}+\sin^4\dfrac{C}{2}\geqslant \dfrac{7}{16}.$$

注意到取等条件为$A=B=C=\dfrac{\pi}3$，于是对$\sin^3\dfrac{B}{2}$进行放缩： $$\dfrac 12\sin^3\dfrac B2+\dfrac 12\sin^3\dfrac B2+\dfrac 1{16}\geqslant \dfrac 34\sin^2\dfrac B2,$$ 即 $$\sin^3\dfrac B2\geqslant \dfrac 34\sin^2\dfrac B2-\dfrac 1{16}.$$ 类似的，对$\sin^4\dfrac{C}{2}$进行放缩： $$\sin^4\dfrac{C}{2}+\dfrac 1{16}\geqslant \dfrac 12\sin^2\dfrac C2,$$ 即 $$\sin^4\dfrac{C}{2}\geqslant \dfrac 12\sin^2\dfrac C2-\dfrac 1{16}.$$ 于是 $$\sin^2\dfrac{A}{2}+\sin^3\dfrac{B}{2}+\sin^4\dfrac{C}{2}\geqslant \sin^2\dfrac A2+\dfrac 34\sin^2\dfrac B2+\dfrac 12\sin^2\dfrac C2-\dfrac 2{16}.$$ 根据已知 $$5\cos A+6\cos B+7\cos C=9,$$ 由二倍角公式可得 $$5\sin^2\dfrac A2+6\sin^2\dfrac B2+7\sin^2\dfrac C2=\dfrac 92,$$ 引入参数，由 $$5\lambda\sin^2\dfrac A2+6\lambda\sin^2\dfrac B2+7\lambda\sin^2\dfrac C2-\dfrac 92\lambda=0,$$ 带入上面得到的结果，有 $$\begin{split}&\quad\sin^2\dfrac{A}{2}+\sin^3\dfrac{B}{2}+\sin^4\dfrac{C}{2}\\&\geqslant \left(1+5\lambda\right)\sin^2\dfrac A2+\left(\dfrac 34+6\lambda\right)\sin^2\dfrac B2+\left(\dfrac 12+7\lambda\right)\sin^2\dfrac C2-\dfrac 2{16}-\dfrac 92\lambda,\end{split}$$ 尝试 $$1+5\lambda=\dfrac 34+6\lambda=\dfrac 12+7\lambda,$$ 解得 $$\lambda=\dfrac 14,$$ 于是有 $$\sin^2\dfrac{A}{2}+\sin^3\dfrac{B}{2}+\sin^4\dfrac{C}{2}\geqslant \dfrac 94\sum_{cyc}\sin^2\dfrac A2-\dfrac {20}{16},$$ 我们熟知 $$\sum_{cyc}\sin^2\dfrac A2\geqslant \dfrac 34,$$ 于是原不等式得证．