层层递进--记一道自招题的解答过程

本题改编自2009年复旦千分考试题：

若两条曲线$f,g$在公共点$P$处的切线互相垂直，那么称这两条曲线正交于点$P$．已知$AB$是单位圆$D$的一条弦，称与单位圆$D$同时正交于点$A$和点$B$的圆弧$AB$为$D$的曲弦，记作$(AB)$．当$AB$是单位圆$D$的直径时，定义曲弦$(AB)$为直径$AB$．下列说法错误的是（        ）

A．存在曲弦$(AB)$，使得对单位圆内部任意一点$P$，均存在过$P$的曲弦$(CD)$与$(AB)$正交于某点

B．若曲弦$(AB)$与曲弦$(CD)$相切，那么切点一定在单位圆上

C．存在曲弦$(AB)$和曲弦$(CD)$，它们恰好有两个公共点

D．对任意曲弦$(AB)$和不在曲弦$(AB)$上的单位圆内部一点$P$，均存在曲弦$(CD)$经过点$P$且与$(AB)$没有公共点

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分析与解    逐步深入地进行思考．

思考一    曲弦是个什么东西？

过圆外一点$O'$引圆的两条切线$O'P$和$O'Q$，那么以$O'$为圆心，切线长为半径作圆被单位圆所截的圆弧$PQ$即为曲弦．

思考二    如何作过指定点的一条曲弦？

当指定点$A$位于单位圆上时，作图是简单的．只需要作过$A$的单位圆的切线，那么切线上任意一点$O'$为圆心，$O'A$为半径作圆被单位圆所截得的圆弧即为过点$A$的曲弦；

当指定点$A$在单位圆内时，问题就复杂一些了．

不妨设$A(a,0)$，$P$为单位圆上任意一点，那么$P$处单位圆的切线与线段$AP$的垂直平分线的交点$O'$即为过点$A,P$的曲弦的圆心．利用解析几何知识可得$O'$的轨迹是直线$x=\dfrac 12\left(a+\dfrac 1a\right)$．

这就意味着，只要作出单位圆内一点$A$对应的直线$l(A)$，在$l(A)$上任取一点$O'$作为圆心，$O'A$为半径作圆被单位圆所截得的圆弧即为过点$A$的曲弦．

思考三    如何作过指定两点的一条曲弦？

继续前面的思考．当指定两点$A,B$与圆心$O$不共线时，作直线$l(A)$和$l(B)$，取其交点为曲弦圆心即可；当指定两点$A,B$与圆心$O$共线(包含其中一点为$O$的情形)时，过$A,B$的直径即为所求曲弦．

接下来，我们来看看选项．

对于选项A，取直径$AB$，从点$A$出发作一系列与$AB$垂直的曲弦，最后汇聚到$B$，如图．

这些曲弦会经过圆内的任何一点，因此命题成立；

对于选项B，如果两条曲弦相切于圆内一点$A$，那么它们的圆心必然同在直线$l(A)$上，此时$A\notin l(A)$，因此与两条曲弦相切矛盾，因此命题成立；

对于选项C，根据思考三，命题错误；

对于选项D，与对选项A的思考类似，对任意曲弦$(AB)$，我们都可以作一系列曲弦$(CD)$(保持$CD\parallel AB$)，而这一系列曲弦$(CD)$将扫过整个单位圆及其内部，因此命题成立．

因此正确答案是C．

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注一    对于选项A，事实上有：对任意曲弦$(AB)$及单位圆内部任意一点$P$，均存在过$P$的曲弦$(CD)$与$(AB)$正交于某点．

注二    对于选项C，可以用解析的方法解决．设曲弦所在的圆的方程为 $$(x-m)^2+(y-n)^2=m^2+n^2-1,$$ 则 $$2mx+2ny=x^2+y^2+1,$$ 于是在给定两点$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$，且这两点连线不经过原点的情况下，圆心坐标就确定了(二元一次方程组的解)；这两点连线经过原点时，曲弦为直径，也唯一确定，因此命题错误．