若无穷数列{an}满足:只要ap=aq(p,q∈N∗),必有ap+1=aq+1,则称{an}具有性质P.
(1) 若{an}具有性质P,且a1=1, a2=2, a4=3, a5=2, a6+a7+a8=21,求a3;
(2) 若无穷数列{bn}是等差数列,无穷数列{cn}是公比为正数的等比数列,b1=c5=1, b5=c1=81, an=bn+cn,判断{an}是否具有性质P,并说明理由;
(3) 设{bn}是无穷数列,已知an+1=bn+sinan(n∈N∗),求证:“对任意a1,{an}都具有性质P”的充要条件为“{bn}是常数列”.
解 (1) 因为a2=a5=2,所以a3=a6, a4=a7=3, a5=a8=2,因此a6=21−a7−a8=16,故a3=16.
(2) 由于bn=20n−19, cn=13n−5,故an=bn+cn=20n−19+13n−5.因为a1=a5=82,但是a2=21+27=48≠a6=101+13=3043,所以{an}不具有性质P.
(3) 先证明充分性.
若{bn}是常数列,不妨设bn=c,则an+1=c+sinan.此时只要ap=aq(p,q∈N∗),必有ap+1=c+sinap=c+sinaq=aq+1,故对任意a1,{an}都具有性质P.
再证明必要性.
考察连续函数f(x)=x−b1−sinx,其中b1为任意实数.因为f(b1−2)=−2−sin(b1−2)<0, f(b1+2)=2−sin(b1+2)>0,所以存在t∈(b1−2,b1+2),使得f(t)=t−b1−sint=0.
若对任意a1,{an}都具有性质P,取a1=t,此时a2=b1+sina1=b1+sint=t=a1,进而a2=a3, a3=a4, ⋯, an=an+1, ⋯,所以对任意n∈N∗,均有bn+1=an+2−sinan+1=an+1−sinan=bn,即{bn}是常数列.