若无穷数列$\left\{a_n\right\} $满足：只要$a_p=a_q \left(p,q\in \mathbf{N}^{*} \right) $，必有$a_{p+1}=a_{q+1}$，则称$\left\{a_n\right\} $具有性质$\mathbf{P}$.
(1) 若$ \left\{a_n\right\} $具有性质$\mathbf{P}$，且$a_1=1,\ a_2=2,\ a_4=3,\ a_5=2,\ a_6+a_7+a_8=21$，求$a_3$；
(2) 若无穷数列$\left\{b_n\right\} $是等差数列，无穷数列$\left\{c_n\right\} $是公比为正数的等比数列，$b_1=c_5=1,\ b_5=c_1=81,\ a_n=b_n+c_n$，判断$\left\{a_n\right\} $是否具有性质$\mathbf{P}$，并说明理由；
(3) 设$\left\{b_n\right\} $是无穷数列，已知$a_{n+1}=b_n+\sin{a_n}\left(n\in \mathbf{N}^{*} \right) $，求证：“对任意$a_1$，$\left\{a_n\right\} $都具有性质$\mathbf{P}$”的充要条件为“$\left\{b_n\right\} $是常数列”．
解 (1) 因为$a_2=a_5=2$，所以$$a_3=a_6,\ a_4=a_7=3,\ a_5=a_8=2,$$因此$a_6=21-a_7-a_8=16$，故$a_3=16$．
(2) 由于$b_n=20n-19,\ c_n=\dfrac{1}{3^{n-5}} $，故$$a_n=b_n+c_n=20n-19+\dfrac{1}{3^{n-5}}. $$因为$a_1=a_5=82$，但是$$a_2=21+27=48\ne a_6=101+\dfrac{1}{3}=\dfrac{304}{3}, $$所以$\left\{a_n\right\} $不具有性质$\mathbf{P}$．
(3) 先证明充分性．
若$\left\{b_n\right\} $是常数列，不妨设$b_n=c$，则$a_{n+1}=c+\sin{a_n}$．此时只要$a_p=a_q \left(p,q\in \mathbf{N}^{*} \right) $，必有$$a_{p+1}=c+\sin{a_p}=c+\sin{a_q}=a_{q+1},$$故对任意$a_1$，$\left\{a_n\right\} $都具有性质$\mathbf{P}$．
再证明必要性．
考察连续函数$$f(x)=x-b_1-\sin{x},$$其中$b_1$为任意实数．因为$$f \left(b_1-2\right)=-2-\sin{\left(b_1-2\right) }<0,\ f\left(b_1+2\right)=2-\sin{\left(b_1+2\right)}>0, $$所以存在$t\in \left(b_1-2,b_1+2\right) $，使得$f(t)=t-b_1-\sin{t}=0$．
若对任意$a_1$，$\left\{a_n\right\} $都具有性质$\mathbf{P}$，取$a_1=t$，此时$$a_2=b_1+\sin{a_1}=b_1+\sin{t}=t=a_1,$$进而$$a_2=a_3,\ a_3=a_4,\ \cdots,\ a_n=a_{n+1},\ \cdots,$$所以对任意$n\in \mathbf{N}^{*} $，均有$$b_{n+1}=a_{n+2}-\sin{a_{n+1}}=a_{n+1}-\sin{a_n}=b_n,$$即$\left\{b_n\right\} $是常数列．