设f(x),g(x),h(x)是定义域为R的三个函数,对于命题:
① 若f(x)+g(x),f(x)+h(x),g(x)+h(x)均为增函数,则f(x),g(x),h(x)中至少有一个为增函数;
② 若f(x)+g(x),f(x)+h(x),g(x)+h(x)均是以T为周期的函数,则f(x),g(x),h(x)均是以T为周期的函数,
下列判断正确的是( )
A.① 和 ② 均为真命题
B.① 和 ② 均为假命题
C.① 为真命题,② 为假命题
D.① 为假命题,② 为真命题
解 D.
① 为假命题,我们可以如下构造反例.将定义域R分为三段,函数f(x)在第一段上是水平的射线,函数g(x)在第二段上是水平的线段,函数h(x)在第三段上是水平的射线,而在其余的部分,三个函数均为斜率为1的线段或射线.那么在每一段上,f(x)+g(x),g(x)+h(x),h(x)+f(x)均为斜率为1或2的线段或射线,如图.
② 为真命题.令F(x)=f(x)+g(x), G(x)=f(x)+h(x), H(x)=g(x)+h(x),
则f(x)=F(x)+G(x)−H(x)2
是以T为周期的函数,同理g(x),h(x)也是以T为周期的函数.
注 若要构造严格单调递增的反例,可以将水平的线段或射线改为斜率为−1的线段或射线,斜率为1的线段或射线改为斜率为2的线段或射线.