角元塞瓦

设$P$为三角形$ABC$内一点，连接$PA,PB,PC$形成$6$个角： $$\angle PAC,\angle PAB,\angle PBA,\angle PBC,\angle PCB,\angle PCA.$$ 证明：

（1）这$6$个角中至少有一个角不超过$\dfrac{\pi}6$；

（2）$\angle PAC,\angle PBA,\angle PCB$中至少有一个角不超过$\dfrac{\pi}6$．

证明    （1）由于 $$\angle PAC+\angle PAB+\angle PBA+\angle PBC+\angle PCB+\angle PCA=\pi,$$ 于是这$6$个角中至少有一个角不超过$\dfrac{\pi}6$．

（2）由角元赛瓦定理，有 $$\dfrac{\sin\angle PAC}{\sin \angle PAB}\cdot \dfrac{\sin\angle PBA}{\sin\angle PBC}\cdot \dfrac{\sin\angle PCB}{\sin \angle PCA}=1,$$ 于是 $$\begin{split} &\qquad  \left(\sin\angle PAC \cdot\sin\angle PBA\cdot \sin\angle PCB\right)^2\\ & =\sin\angle PAC\cdot \sin \angle PAB\cdots\sin\angle PCA \\ &\leqslant \left(\dfrac{\sin\angle PAC+\sin\angle PAB+\cdots +\sin\angle PCA}6\right)^6 \\ &\leqslant \sin^6\dfrac{\angle PAC+\angle PAB+\cdots +\angle PCA}6\\ &=\dfrac{1}{64},\end{split}$$ 其中用到了均值不等式以及琴生不等式．因此 $$\sin\angle PAC\cdot \angle PBA\cdot \sin\angle PCB\leqslant \dfrac 18,$$ 于是$\angle PAC,\angle PBA,\angle PCB$中至少有一个角不超过$\dfrac{\pi}6$．