代数不等式的证明一则

证明：$\left( a^2+2\right)\left( b^2+2\right) \left( c^2+2\right) \geqslant 9(ab+bc+ca)$．

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证明    该不等式可以加强为

$$\left( a^2+2\right) \cdot \left( b^2+2\right) \cdot \left( c^2+2\right) \geqslant 3(a+b+c)^2.$$

法一

由于

$$\begin{split} 3(a+b+c)^2&=3\left[a^2+2a(b+c)+(b+c)^2\right]\\& \leqslant 3\left[a^2+\dfrac {a^2(b+c)^2}2+2+(b+c)^2\right]\\&=3 \left (a^2+2\right )\left [1+\dfrac 12(b+c)^2\right ],\end{split}$$ 因此只需证明 $$\left (b^2+c\right )\cdot\left (c^2+2\right )\geqslant 3\left [1+\dfrac 12(b+c)^2\right ],$$ 即 $$2(bc-1)^2+(b-c)^2\geqslant 0,$$ 因此原不等式得证．

法二

不妨设$\left (a^2-1\right )\cdot \left (b^2-1\right )\geqslant 0$,于是

$$a^2b^2-a^2-b^2+1\geqslant 0,$$ 因此 $$\begin{split} \left (a^2+2\right )\left (b^2+2\right )\left (c^2+2\right )&=\left (a^2b^2+2a^2+2b^2+4\right )\left (c^2+2\right )\\& \geqslant 3\left (a^2+b^2+1\right )\left (c^2+2\right )\\&=3 \left (a^2+b^2+1\right )\left (1+1+c^2\right )\\& \geqslant 3(a+b+c)^2,\end{split}$$ 因此原不等式得证．