已知\(x\in \left(0,\dfrac \pi 2\right)\)，求证：\(\sin {\sqrt x}<\sqrt {\sin x}\)．
令\(t=\sqrt x\)，则\(t\in \left(0,\sqrt {\dfrac \pi 2}\right)\)，欲证不等式即\[\sin^2 t<\sin {t^2}.\]
第一种情况，若\(1\leqslant t \leqslant \sqrt{\dfrac \pi 2}\)，则\(t^2\geqslant t\)，从而\[\sin {t^2} \geqslant \sin t > \sin ^2 t.\]
第二种情况，若\(0<t<1\)，则\(t^2<t\)．令\(f(t)=\sin {t^2}-\sin ^2 t\)，则\[f'(t)=2t\cos t^2 - 2\sin t \cos t.\]
由于\(t>\sin t\)且\(\cos t^2>\cos t\)，于是\(f'(t)>0\)，又\(f(0)=0\)，因此原不等式成立．
综上所述，原不等式得证．