一道函数不等式

已知$x\in \left(0,\dfrac \pi 2\right)$，求证：$\sin {\sqrt x}<\sqrt {\sin x}$．

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令$t=\sqrt x$，则$t\in \left(0,\sqrt {\dfrac \pi 2}\right)$，欲证不等式即

$$\sin^2 t<\sin {t^2}.$$

第一种情况，若$1\leqslant t \leqslant \sqrt{\dfrac \pi 2}$，则$t^2\geqslant t$，从而

$$\sin {t^2} \geqslant \sin t > \sin ^2 t.$$

第二种情况，若$0<t<1$，则$t^2<t$．令$f(t)=\sin {t^2}-\sin ^2 t$，则

$$f'(t)=2t\cos t^2 - 2\sin t \cos t.$$

由于$t>\sin t$且$\cos t^2>\cos t$，于是$f'(t)>0$，又$f(0)=0$，因此原不等式成立．

综上所述，原不等式得证．