从本质角度理解函数的性质

函数的性质本质上指当自变量满足某些关系时，函数值是否随之满足某些关系．具有某种性质的函数，会同时反应在函数的解析式与函数的图象上，借助于性质的本质，解析式满足的关系与图象满足的特征之间可以很好地对应起来．

以偶函数为例，若函数$f(x)$是偶函数，那么它的解析式满足方程$f(-x)=f(x)$，它的图象关于$y$轴对称．从偶函数本质上理解：当两个自变量的和为$0$时，对应的函数值相等，这两个点也恰好关于$y$轴对称，如图：

如果一个函数$f(x)$满足对定义域内任意一个$x$，都有

$$f(x+1)=f(-x-1)，$$ 那么函数$f(x)$具有什么性质，图象具有什么特点呢？

从形式上看，这与偶函数的定义不一样，但从本质上来看，仍然满足当自变量的和为$0$时，函数值相等，所以$f(x)$仍然为偶函数．

事实上，令$t=x+1$，则我们得到$f(t)=f(-t)$.

从这个角度出发，我们可以推导，如果函数$y=f(x)$的图象关于直线$x=2$对称，$f(x)$的解析式满足的方程．

推导　图象关于$x=2$对称，意味着自变量的和为$4$时，函数值相等，所以有

$$f(x)=f(4-x)，$$ 如果你愿意，也可以写成 $$f(x+1)=f(3-x),$$ 甚至 $$f(2x-1)=f(5-2x)，$$ 因为这些方程都可以导出当自变量的和为$4$时，函数值相等．

解析式满足的关系式可以从形式上千变万化，但从本质上始终保持一致．抓住性质的本质就可以以不变应万变．

根据上面的思路，由奇函数的定义$f(x)+f(-x)=0$，很容易得到奇函数的本质：当自变量的和为$0$时，函数值的和也为$0$．由此可以推导与中心对称相关的性质．比如：

若函数$y=f(x)$满足：$f(x+1)+f(-x+1)=0$，那么$y=f(x)$关于$(1,0)$中心对称，因为当自变量的和为$2$时，函数值的和为$0$．

若函数$y=f(x)$的图象关于点$(1,2)$中心对称，则有

$$f(x)+f(2-x)=4.$$

下面看一个用性质的本质去推导的例子：

求证　如果一个函数有双对称轴，那么它一定是周期函数．

不妨以特殊的函数为例进行证明，若函数$y=f(x)$的图象关于$x=1$与$x=2$对称，证明$f(x)$是周期函数，并求出它的一个周期．

证　由$y=f(x)$的图象关于$x=1$对称知，当自变量和为$2$时，函数值相等，即

$$f(x)=f(2-x).$$ 同理有 $$f(x)=f(4-x).$$ 于是我们得到 $$f(2-x)=f(4-x)．$$ 这说明当自变量相差$2$时，函数值相等，这是周期性的本质，故$y=f(x)$是周期函数，$2$是它的一个周期．

最后我们给出一道练习（2009年高考数学全国I卷理科第11题）

函数$f(x)$的定义域为$\mathcal{R}$，若$f(x+1)$与$f(x-1)$都是奇函数，则（　　）

A．$f(x)$是偶函数

B．$f(x)$是奇函数

C．$f(x)=f(x+2)$

D．$f(x+3)$是奇函数

答案　D

提示：令$g(x)=f(x+1)$，由$g(-x)+g(x)=0$知$f(-x+1)+f(x+1)=0$，即

$$f(x)=-f(2-x).$$ 同理有 $$f(x)=-f(-2-x).$$ 从而有 $$f(2-x)=f(-2-x),$$ 得到$f(x)$是周期为$4$的函数，从而$f(x+3)=f(x-1)$为奇函数．

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注　除了从性质的本质角度出发外，利用图象的变换也是一个可以尝试的角度，但有一定的局限性．比如，若$y=f(x)$的图象关于$x=2$对称知，我们推导$f(x)$满足的方程．将$y=f(x)$的图象向左平移两个单位后，得到的函数的图象关于$y$轴对称，即$y=f(x+2)$是一个偶函数．记$g(x)=f(x+2)$，有$g(-x)=g(x)$，从而

$$f(-x+2)=f(x+2)．$$