A-L-G不等式

A-L-G不等式的内容是： $$\forall a,b>0\land a\neq b,\sqrt{ab}<\dfrac{a-b}{\ln a-\ln b}<\dfrac{a+b}2.$$

A-L-G不等式（对数—平均值不等式）描述了我们在解导数中的不等式问题中常见的$\ln\dfrac{x_1}{x_2}$的上下界，因此是处理该类问题的利器，如 每日一题[78] 对数函数的齐次化构造 ，每日一题[83] 有关$x_1+x_2$导函数不等式的对称化构造，对数函数不等式的化齐次方法，等等．

证明    不妨设$a>b$，令$x=\dfrac ab$，则欲证不等式等价于 $$\forall x>1,\dfrac{2(x-1)}{x+1}<\ln x<\dfrac{x-1}{\sqrt x}.$$

注意到当$x=1$时三者均为$0$，于是只需要证明 $$\forall x>1, \left(\dfrac{2(x-1)}{x+1}\right)'<\left(\ln x\right)'<\left(\dfrac{x-1}{\sqrt x}\right)',$$ 以下略．

注    这个函数不等式比常用函数不等式 $$\forall x>0,\ln x\leqslant x-1$$ 精细得多．

下面给出一个简单的例子．

（2015年吉林省长春市四模题）已知函数$f(x)={\rm e}^x-ax$有两个零点$x_1<x_2$，则下列说法错误的是（        ）

A．$a>{\rm e}$

B．$x_1+x_2>2$

C．$x_1x_2>1$

D．有极小值点$x_0$，且$x_1+x_2<2x_0$

解    函数$f(x)$的导函数为 $$f'(x)={\rm e}^x-a,$$ 于是有极小值点$x=\ln a$，而极小值为$a\left(1-\ln a\right)$．于是根据题意，极小值应小于$0$，从而$a>{\rm e}$，选项 A 正确．下面分析选项 B、C、D．

根据题意有 $$\begin{eqnarray}\begin{split}x_1=\ln a+\ln x_1,\\x_2=\ln a+\ln x_2,\end{split}\end{eqnarray}$$

两式相减，得 $$\dfrac{x_1-x_2}{\ln x_1-\ln x_2}=1,$$ 于是 $$\sqrt{x_1x_2}<1<\dfrac{x_1+x_2}2,$$ 即 $$x_1x_2<1\land x_1+x_2>2,$$ 选项 B 正确，而选项 C 错误．

选项 D：根据题意$x_0=\ln a$，而根据(1)，有 $$x_1+x_2=2\ln a+\ln\left(x_1x_2\right),$$ 结合对选项 C 的分析，可知选项 D 正确．

综上，符合题意的选项为 C．