角含半角模型之90°含45°（四）

如图，在正方形$ABCD$中，被两条与边平行的线段$EH、GF$分割成四个小矩形，$P$是$EH$与$GF$的交点，若矩形$PECF$的面积恰是矩形$AGPH$的$2$倍，试确定$\angle FAE$的大小．

分析　在《角含半角模型之90°含45°（一）》，《角含半角模型之90°含45°（二）》，《角含半角模型之90°含45°（三）》之后，很明显的看出此题是角含半角模型，那么遇见此类问题马上会想到旋转全等，想法很丰满，现实很骨干，这两个三角形全等中缺少条件去判定．所以我们要根据已知中的面积$2$倍，去求得第三边等，此题才能解决．
 解 设$AG=a，GB=b，AH=x，HD=y$， 根据题意可得

$$a+b=x+y，2ax=by,$$ 则$(a-x)^2=(y-b)^2$，将$2ax=by$代入可得 $$(a+x)^2=y^2+b^2,$$ 将$CB$延长，使得$BQ=DF$，连接$AQ$、$EF$， 所以 $$EF=EQ,$$ 所以 $$\triangle AEF\cong \triangle AEQ,$$ 可得 $$\angle EAF=45^\circ.$$