二次函数根的分析一例

已知二次函数 $f_1(x)=x^2-ax+b$，$f_2(x)=x^2-bx+c$，$f_3(x)=x^2-cx+a$．设 $a,b,c$ 都是正整数，求所有的可能的有序三元组 $(a,b,c)$，使得 $f_1(x)=0$，$f_2(x)=0$，$f_3(x)=0$ 均有整数根．

解法一（基于求根公式）

由 $c\geqslant 1$ 可得 $b^2\geqslant 4c\geqslant 4$，于是 $b\geqslant 2$，进而 $a^2\geqslant 4b\geqslant 8$，于是 $a\geqslant 3$，进而 $c^2\geqslant 4a\geqslant 12$，于是 $c\geqslant 4$，进而 $a,b,c\geqslant 4$．由 $a,b,c$ 的轮换性，不妨设 $c$ 最大． 根据题意，有 $\Delta_i(x)$ 均为完全平方数，且 $f_i(1)\geqslant 0$，其中 $i=1,2,3$．于是

$$\begin{cases} 1-a+b\geqslant 0,\\ 1-b+c\geqslant 0,\\ 1-c+a\geqslant 0,\end{cases}\implies a-1\leqslant b\leqslant c\leqslant a+1,$$ 因此 $c=a$ 或 $c=a+1$．

情形一    若 $c=a$，此时 $\Delta_3=c^2-4a=a^2-4a$，而当 $a\geqslant 5$ 时，有

$$(a-3)^2<a^2-4a<(a-2)^2,$$ 于是 $a=c=4$，进而 $b=4$，因此 $(4,4,4)$ 是符合题意的一组解．

情形二    若 $c=a+1$．此时 $\Delta_1=a^2-4b$，而 $a-1\leqslant b\leqslant a+1$．

① $b=a-1$．此时 $\Delta_1=(a-2)^2$ 为完全平方数，考虑

$$\Delta_2=b^2-4c=a^2-6a-3=(a-3)^2-12,$$ 此时 $a\geqslant 7$．当 $a=7$ 时，得到解 $(7,6,8)$．$a=8$ 时，$\Delta_2=13$ 不是完全平方数，当 $a\geqslant 9$ 时，有 $$(a^2-6a-3)-(a-4)^2=2a-19>0,$$ 无解．

② $b=a$．此时 $\Delta_1=a^2-4a$，与情形一类似分析，可得此时无解．

③ $b=a+1$．此时 $c=a$，$\Delta_3=a^2-4a$，与情形一类似分析，可得此时无解．

综上所述，所有解 $(a,b,c)$ 只有 $(4,4,4)$ 以及 $(7,6,8)$ 的轮换．

解法二（基于系数参数） 

$f_i(x)=0$ 有整数根，则均为正整数根．

情形一     所有整数根均大于 $1$，则两根之积不小于两根之和，进而

$$\begin{cases} b\geqslant a,\\ c\geqslant b,\\ a\geqslant c,\end{cases}\implies a=b=c,$$ 此时 $$f_1(x)=0\iff x^2-ax+a=0\iff a=x+1+\dfrac1{x-1},$$ 于是 $x=2$，进而 $(a,b,c)=(4,4,4)$．

情形二    有一个整数根为 $1$．不妨设 $f_1(1)=0$，于是 $a=b+1$，进而

$$\begin{cases} f_2(x)=x^2-(a-1)x+c,\\ f_3(x)=x^2-cx+a,\end{cases}\implies c\geqslant a-1\geqslant c-1,$$ 于是 $c=a-1$ 或 $c=a$，进而与情形一类似，均无解．

情形三    有两个整数根为 $1$．不妨设 $f_1(1)=0$ 且 $f_2(1)=0$，于是 $a=b+1$，$c=b-1$，进而

$$f_3(x)=0\iff x^2-(b-1)x+b+1=0\iff b=x+2+\dfrac3{x-1},$$ 于是 $x=2$ 或 $x=4$，因此 $(a,b,c)=(8,7,6)$（其轮换也是解）．

情形四    有三个整数根为 $1$．此时无解．

综上所述，所有解 $(a,b,c)$ 只有 $(4,4,4)$ 以及 $(7,6,8)$ 的轮换．

解法三（基于根参数）

不妨设三个方程的实根分别为 $x_1,x_2;x_3,x_4;x_5,x_6$，且 $x_1\geqslant x_2$，$x_3\geqslant x_4$，$x_5\geqslant x_6$，则 $x_i\in\mathbb N^{\ast}$（$i=1,2,3,4,5,6$）．根据韦达定理

$$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6=x_3x_4+x_5x_6+x_1x_2=a+b+c,$$ 进而 $$(x_1-1)(x_2-1)+(x_3-1)(x_4-1)+(x_5-1)(x_6-1)=3,$$ 左侧和式中的三个数都是非负整数，考虑到轮换性，不妨设 $(x_1-1)(x_2-1)$ 是左侧和式中最大数．

情形一     $(x_1-1)(x_2-1)=3$．此时 $x_1=4$，$x_2=2$，$x_4=x_6=1$，可得 $a=6$，$b=8$，进而 $c=7$．

情形二     $(x_1-1)(x_2-1)=2$．此时 $x_1=3$，$x_2=2$，$x_4$ 或 $x_6$ 为 $1$，可得 $a=5$，$b=6$，进而 $c=5$ 或 $c=6$，均不符合题意．

情形三     $(x_1-1)(x_2-1)=1$．此时 $x_1=x_2=x_3=x_4=x_5=x_6=2$，此时 $a=b=c=4$．

综上所述，所有解 $(a,b,c)$ 只有 $(4,4,4)$ 以及 $(7,6,8)$ 的轮换．