初高衔接[8]平面几何遗忘系列下

我们常常遇到的三角形的四心是内心、外心、重心与垂心：
(1)内心$I$是三角形的内切圆的圆心，是三角形的三个内角平分线的交点；
(2)外心$O$是三角形的外接圆的圆心，外心到三角形三个顶点的距离相等，是三边中垂线的交点；
(3)重心$G$是三角形三边中线的交点，且重心分中线的比为$2:1$(到顶点的距离是到对边中点的距离的两倍）；
(4)垂心$H$是三角形三边的高的交点，垂心可能在三角形外（钝角三角形时）．
对于特殊的三角形，有些四心位置比较特殊，比如正三角形四心合一，又称为正三角形的中心；直角三角形的外心为斜边中点，垂心为直角顶点．

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读者可以去尝试证明，三角形的三条内角平分线、三边中垂线、三条中线、三条高都交于一点．这里给出重心分中线比为2:1的一个证明：

证明　设$G$是三角形$ABC$的两条中线$AM,BN$的交点，过$G$作$GD\parallel BC$交边$AC$于点$D$，如图：
于是在$\triangle NBC$与$\triangle AMC$中有

$$\begin{split} \dfrac {GD}{BC}=\dfrac {ND}{NC}=\dfrac {ND}{\frac 12AC},\\\dfrac {GD}{MC}=\dfrac {GD}{\frac 12BC}=\dfrac {AD}{AC}.\end{split}$$ 两边分别相比得$AD=4ND$，从而有$ND=\dfrac 13{NC}$．所以 $$\dfrac {AG}{GM}=\dfrac {AD}{DC}=\dfrac {\frac 43NC}{\frac 23NC}=2.$$ 即重心分中心比为$2:1$，从而可知三条中线的交点两两重合，即三条中线交于一点．

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例题一　(1)已知直角三角形$ABC$的三边长分别为$a,b,c$，其中$c$为斜边，证明：它的内切圆半径$r=\dfrac {a+b-c}{2}=\dfrac {ab}{a+b+c}$；
(2)求边长为$a$的正三角形的内切圆半径$r$与外接圆半径$R$；
(3)求边长为$5,5,6$的三角形的内切圆半径$r$与外接圆半径$R$．

分析与解　(1)如左图，记切点分别为$E,F,G$，则有

$$AE=AG,GC=CF,EF=BF=r,$$ 所以有$a+b-c=EB+BF=2r$；再考虑三角形$ABC$的面积有 $$S=\dfrac 12ab=\dfrac 12(a+b+c)r,$$ 得$r=\dfrac{ab}{a+b+c}$．通过面积计算内切圆半径是非常常用的方法．
(2)如中间图，有$R=2r$且$R+r=\dfrac {\sqrt 3a}{2}$，所以$r=\dfrac{\sqrt 3a}{6},R=\dfrac {\sqrt 3a}{3}$；
(3)取$BC$的中点$M$，连结$AM$，则外心$O$在$AM$上，如右图．
先利用面积计算内切圆半径有 $$S=\dfrac 12\times 6\times\sqrt{5^2-3^2}=12=\dfrac 12(5+5+6)r,$$ 解得$r=\dfrac 32$．
再结合图象求外接圆半径，有 $$R^2=3^2+(4-R)^2,$$ 解得$R=\dfrac {25}{8}$．

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例题二　已知$\triangle ABC$的重心为$G$，内心为$I$．
(1)若$GI\parallel BC$，求证：$AB+AC=2BC$；
(2)若$AB+AC=2BC$，求证：$GI\parallel BC$．
分析与证明　　连结$AI,AG$并延长分别交边$BC$于$E,D$两点，连结$BI$．

由$G$为重心知，$AG:GD=2:1$．
(1)因为$IG\parallel BC$，所以

$$\dfrac {AI}{IE}=\dfrac {AG}{GD}=\dfrac {2}{1}.$$ 因为$I$为重心，所以$BI$平分$\angle ABC$，由角平分线定理知 $$\dfrac {AB}{BE}=\dfrac {AI}{IE}=\dfrac {2}{1}.$$ 连结$CG$，同理有$\dfrac {AC}{CE}=\dfrac {2}{1}$．由合比定理知 $$\dfrac {AB+AC}{BE+CE}=\dfrac {AB+AC}{BC}=\dfrac {AB}{BE}=2,$$ 命题得证．

另法　分别过$A,G$分别作$BC$的垂线，交$BC$于$A',G'$．由$IG\parallel BC$且$G$为重心知$AA'=3GG'=3r$．于是$\triangle ABC$的面积

$$S=\dfrac 12\cdot BC\cdot 3r=\dfrac 12\cdot (AB+BC+AC)\cdot r,$$ 化简得$AB+AC=2BC$．

(2)因为$AE$平分$\angle BAC$，所以

$$\dfrac {BE}{CE}=\dfrac {AB}{AC},$$ 从而有 $$BE=\dfrac {AB}{AB+AC}\cdot {BC}=\dfrac 12{AB}.$$
又因为$BI$平分$\angle ABC$，所以 $$\dfrac{AI}{IE}=\dfrac {AB}{BE}=2=\dfrac {AG}{GD}.$$ 所以$IG\parallel BC$．

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最后给出两道练习：

练习一　求边长为$10,10,13$的三角形内切圆半径$r$与外接圆的半径$R$．
答案　$r=\dfrac {10}{3},R=\dfrac {169}{24}$．

练习二　$\triangle ABC$的重心为$G$，内心为$I$，若$AB=6,BC=5,CA=4$，求$GI$的值．
答案　$\dfrac 13$．

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我们有时称三角形的五心，包括这里没有提的三角形的旁心，旁心是指三角形的旁切圆的圆心，是三角形的外角平分线的交点，共有三个．有兴趣的读者可以在平面几何相关辅导书中找到．
另外，读者还可以尝试证明任何三角形的重心、垂心与外心三点共线，且重心分垂心与内心的比为$2:1$．过这三点的直线称为三角形的欧拉线．