抽象复合函数的定义域

在刚刚学习函数时，我们就经常遇到一类“剪不断、理还乱”的问题，就是$f(x+1)$与$f(x)$的定义域关系问题，现在回过头再来梳理一下这类问题：

例题一　(1)已知$f(x)$的定义域为$[1,3]$，则$f(x+1)$的定义域为________；
(2)已知$f(x+1)$的定义域为$[1,3]$，则$f(x)$的定义域为________；
(3)已知$f(2x+1)$的定义域为$[1,3]$，则$f(x+1)$的定义域为________．

分析　第一层　$f(x)$与$f(x+1)$的区别
对应法则是将定义域内每一个自变量的值对应到唯一的函数值．$f(x)$是一个对应法则（可以记为$f$），$f(x+1)$是另外一个对应法则（不可记为$f$）．对应法则$f(x)$将$2$对应到$f(2)$，而对应法则$f(x+1)$将$2$对应到$f(3)$．我们需要明确的是对应法则$f(x+1)$中的自变量仍然是$x$．

第二层　$f(x)$与$f(x+1)$的联系
都有$f$，$f$的限制会对它们都造成影响，比如对应法则$f$是对自变量开根号，它只能对大于等于$0$的自变量有定义，那么$f$后面括号中的式子就必须非负．即$f$的作用区域是保持一致的，即$f$后面括号内的代数式的限制一致．注意，$f(x)$的定义域就是$f$的作用区域．

解　(1)$f(x)$的定义域为$[1,3]$，即$f$的作用区域为$[1,3]$，从而$x+1\in [1,3]$，解得$x\in [0,2]$，这就是$f(x+1)$的定义域；
(2)$f(x+1)$的定义域为$[1,3]$意味着其中的自变量$x\in [1,3]$，所以$x+1\in [2,4]$，即$f$的作用区域为$[2,4]$，这就是$f(x)$的定义域；
(3)$f(2x+1)$中的自变量$x\in [1,3]$，那么$2x+1\in [3,7]$，即$f$的作用区域是$[3,7]$，所以$x+1\in [3,7]$，解得$x\in [2,6]$，即$f(x+1)$的定义域为$[2,6]$．

---

这个概念理解清楚后，对于$f(x+1)$为偶函数或奇函数这类问题的理解就清楚明了了．

例题二　已知定义在$\mathcal{R}$上的函数$f(x+1)$为偶函数，下面等式一定成立的有_________．

①$f(x)=f(-x)$；
②$f(x+1)=f(-x+1)$；
③$f(x+1)=f(-x-1)$；
④$f(x)=f(-x+2)$；
⑤$f(-x)=f(x-2)$；
⑥$f(-x)=f(x+2)$．

正确答案是②④⑥．

分析与解　我们已经清楚地知道函数$f(x+1)$的自变量为$x$，而一个函数是偶函数的定义是当自变量取相反数时，函数值不变．即

$$f(-x+1)=f(x+1).$$ 因为$x$的取值是任意的，所以$-x+1,x+1$的形式是不重要的，它们的关系是$(-x+1)+(x+1)=2$，即只要$f$后面括号中的两个数的和为$2$，它们的函数值就会保持不变．从而得到②④⑥正确．

事实上，等式$f(2x+1)=f(-2x+1)$，$f(100+x)=f(-x-98)$等等都表达的是同一个意思，即函数$f(x+1)$为偶函数，即$f(x)$的对称轴为$x=1$．抓住了本质，形式就不再具有迷惑性．

---

最后给出两道练习：

练习一　(1)已知$f(x)$的定义域为$[2,4]$，则$f(2x)$的定义域为________；
(2)已知$f(2x)$的定义域为$[2,4]$，则$f(x)$的定义域为________；
(3)已知$f(x+1)$的定义域为$[2,4]$，则$f(2x-1)$的定义域为________．

答案　(1)$[1,2]$；(2)$[4,8]$；(3)$[2,3]$．

练习二　已知定义在$\mathcal{R}$上的函数$f(x-2)$为偶函数，下面的等式一定成立的有_________．

①$f(x)=f(-x)$；
②$f(x-2)=f(-x+2)$；
③$f(-x-2)=f(x-2)$；
④$f(x)=f(-x+4)$；
⑤$f(-x)=f(x-4)$；
⑥$f(-2x)=f(2x-4)$；
⑦$f(2016x-2016)=f(-2016x+2012)$．

答案　③⑤⑥⑦．