初高衔接[6]解不等式(2)

这一节我们来看简单的分式不等式与绝对值不等式的解法．

只含有一个未知数，且分母含有未知数的不等式称为分式不等式．如$\dfrac {1}{x-1}<2x-1$．解分式不等式，关键步骤是将它变成整式不等式去求解，先移项得到 $$\dfrac 1{x-1}-2x+1=\dfrac {x(3-2x)}{x-1}<0,$$ 这个不等式等价于 $$x(x-1)(2x-3)>0,$$ 利用上周的穿根法即得所求解集为$0<x<1$或$x>\dfrac 32$．需要注意的是，如果不等号是$\leqslant$或$\geqslant$，则变形为同解的整式不等式时，需要加上分母不为零．

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例题一　解下列分式不等式：

(1)$\dfrac {x-1}{x+3}\leqslant 2$；

(2)$\dfrac {(x+1)^2(2-x)}{x(4+x)}\geqslant 0$；

(3)$\dfrac {4-2x}{x^2-6x+8}\leqslant 1$．

分析与解　(1)移项通分得 $$\dfrac {-x-7}{x+3}\leqslant 0,$$ 转化为 $$\begin{cases} (x+7)(x+3)\geqslant 0,\\x+3\ne 0,\end{cases}$$ 所以不等式解集为$x\leqslant -7$或$x>-3$．

(2)不等式转化为 $$\begin{cases} (x+1)^2(x-2)x(x+4)\leqslant 0,\\x\neq 0,\\x+4\neq 0,\end{cases}$$ 由穿根法得示意图如下：

从而不等式解集为$x<-4$或$x=-1$或$0<x\leqslant 2$；

(3)移项化简得 $$\dfrac {(x-2)^2}{(x-2)(x-4)}\geqslant 0,$$ 转化为 $$\begin{cases} (x-2)^3(x-4)\geqslant 0,\\x\neq 2,\\x\neq 4,\end{cases}$$ 所以不等式解集为$x<2$或$x>4$．

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初中时，我们学过绝对值 $$|a|=\begin{cases} a,a\geqslant 0,\\-a,a<0.\end{cases}$$ 它的几何意义是表示数轴上点$a$到原点的距离．含有绝对值的不等式有两种基本形式：
(1)$|x|<a(a>0)$，它等价于$-a<x<a$；
(2)$|x|>a(a>0)$，它等价于$x<-a$或$x>a$．

解绝对值不等式的关键在于去绝对值符号，去绝对值符号的通常方法有分段讨论（按照绝对值中代数式的零点进行分段）、平方后去绝对值，有时我们会借助于绝对值的几何意义去绕开绝对值．

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例题二　解不等式：

(1)$|x^2-5x+5|\leqslant 1$；
(2)$1<|2x+1|<3$；
(3)$|x-1|>|2x+1|$；
(4)$|x-1|>2x+1$；
(5)$|x+1|+|x-1|>3$．

分析与解　(1)由题意知不等式即$-1\leqslant x^2-5x+5\leqslant 1$，等价于 $$\begin{cases} x^2-5x+6\geqslant 0,\\x^2-5x+4\leqslant 0.\end{cases}$$ 解得$1\leqslant x\leqslant 2$或$3\leqslant x\leqslant 4$．

(2)根据题意知不等式即$-3<2x+1<-1$或$1<2x+1<3$，解得$-2<x<-1$或$0<x<1$，即为所求的解集；

(3)两边都是绝对值不等式，两边平方知不等式等价于 $$(x-1)^2>(2x+1)^2,$$ 移项用平方差公式得$3x(x+2)<0$，解得$-2<x<0$．

(4)当$2x+1<0$，即$x<-\dfrac 12$时，不等式恒成立；
当$2x+1\geqslant 0$，即$x\geqslant -\dfrac 12$时，两边平方同(3)得$-2<x<0$，从而知$-\dfrac 12\leqslant x<0$也满足；
综上知，不等式解集为$x<0$．

注　本题也可以借助函数图象求解，作出$y=|x-1|$与$y=2x+1$的图象得到结果．

(5)直接讨论去绝对值：由绝对值中的代数式知讨论的分界点为$-1,1$：
①当$x<-1$时，不等式为$-1-x-x+1>3$，解得$x<-\dfrac 32$；
②当$-1\leqslant x\leqslant 1$时，不等式为$x+1+1-x>3$，都不满足；
③当$x>1$时，不等式为$1+x+x-1>3$，解得$x>\dfrac 32$；

综上知，不等式的解集为$x<-\dfrac 32$或$x>\dfrac 32$．

注　函数$y=|x+1|+|x-1|$表示数轴上的点$x$与$-1,1$的距离之和，利用这个意义可以．

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最后给出一组练习：

解不等式：

(1)$\dfrac {3-x}{2x-4}<1$；
(2)$\dfrac {x^2+2x-3}{-x^2+x+6}<0$；
(3)$3-\dfrac 2x\leqslant x$；
(4)$0<|x+2|<3$；
(5)$|x+1|<1-2x$；
(6)$|2x+2|-|x-1|<1$．

答案　(1)$x<2$或$x>\dfrac 73$；
(2)$x<-3$或$-2<x<1$或$x>3$；
(3)$0<x\leqslant 1$或$x\geqslant 2$；
(4)$-5<x<1$且$x\neq -2$；
(5)$x<0$；
(6) $-4<x<0$．