交点曲线系

在解析几何中，常常研究经过某两条曲线的交点的一系列曲线的问题．直接思路是解出交点，再通过待定系数法去求出曲线，但往往计算量很大，这里给出这类问题的一个解决方法——通过交点曲线系方程去直接表示通过两条曲线交点的一系列曲线．我们以两条直线的交点为例：

结论一　已知两条相交直线$l_1:A_1x+B_1y+C_1=0$与直线$l_2:A_2x+B_2y+C_2=0$，那么经过这两条直线的交点$P$的直线系为

$$l:(A_1x+B_1y+C_1)+\lambda (A_2x+B_2y+C_2)=0,$$ 其中$\lambda\in\mathcal{R}$，这里的直线系不包括$l_2$．

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为什么这是经过直线$l_1,l_2$的交点的直线系方程呢？证明如下：

如果$P(x_0,y_0)$是$l_1$与$l_2$的交点，则它必然满足$l$的方程，即

$$\begin{cases} A_1x_0+B_1y_0+C_1=0,\\A_2x_0+B_2y_0+C_2=0,\end{cases}$$ 从而有 $$(A_1x_0+B_1y_0+C_1)+\lambda (A_2x_0+B_2y_0+C_2)=0,$$ 即点$P$在直线$l$上，所以此方程表示的是经过交点$P$的直线．

下面只需要证明，所有经过交点$P$的直线（除$l_2$外）都可以表示成这个形式．将$l$整理为

$$(A_1+\lambda A_2)x+(B_1+\lambda B_2)y+(C_1+\lambda C_2)=0,$$ 当$B_2\ne 0$（即直线$l_2$的斜率存在）时，令$\lambda =-\dfrac {B_1}{B_2}$即可表示斜率不存在的直线；当$\lambda \ne -\dfrac {B_1}{B_2}$时，直线$l$的斜率$k=-\dfrac {A_1+\lambda A_2}{B_1+\lambda B_2}$的取值范围为 $$\left\{k\in\mathcal R|k\ne -\dfrac {A_2}{B_2}\right\}.$$ 即直线$l$表示所有经过点$P$，且斜率不为$-\dfrac {A_2}{B_2}$的直线，所以它是经过$l_1,l_2$的交点的曲线系，只是不包括$l_2$．

注　将直线系方程表示为

$$l:\mu(A_1x+B_1y+C_1)+\lambda (A_2x+B_2y+C_2)=0,$$ 可以表示所有过交点的直线．

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例题一　已知直线$l$经过$l_1:2x+3y+1=0$与$l_2:7x+8y+2=0$的交点，分别求满足下列条件的$l$的方程．

(1)点$P(2,-1)$在$l$上；

(2)$l$与直线$x-y+1=0$垂直．

分析与解　因为$l_2$显然不满足(1)(2)，所以经过$l_1,l_2$交点的直线系方程可以设为

$$(2x+3y+1)+\lambda (7x+8y+2)=0.$$ 整理为 $$(2+7\lambda )x+(3+8\lambda )y+(1+2\lambda )=0.$$

(1) 将$(2,-1)$代入上面的方程中解得$\lambda =-\dfrac 14$，所以直线$l$的方程为$x+4y+2=0$．

(2) 由$2+7\lambda =3+8\lambda$得$\lambda =-1$，故所求方程为$5x+5y+1=0$．

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结论二　经过直线$l:Ax+By+C=0$与圆$C:x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$的交点的圆系方程为

$$(x^2+y^2+Dx+Ey+F)+\lambda (Ax+By+C)=0.$$

结论三　经过两个圆$C_1:x^2+y^2+D_1x+E_1y+F_1=0$与$C_2:x^2+y^2+D_2x+E_2y+F_2=0$的交点的圆系方程为

$$(x^2+y^2+D_1x+E_1y+F_1)+\lambda (x^2+y^2+D_2x+E_2y+F_2)=0.$$ 其中$\lambda\ne -1$，圆系方程不包括圆$C_2$．

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对结论二与结论三的证明：

由曲线系方程的形式容易知道，它们表示圆，且交点在圆上；

下面来说明，所有经过交点的圆都可以表示为圆系方程的形式．

先证明结论二：若$x^2+y^2+D'x+E'y+F'=0$是过直线$l$与圆$C$的交点的任意一个圆，则将此圆方程与圆$C$的方程相减得到它们的相交弦所在直线的方程

$$(x^2+y^2+D'x+E'y+F')-(x^2+y^2+Dx+Ey+F)=0,$$ 因为相交弦就是直线$l$，所以存在$\lambda$，使得 $$(x^2+y^2+D'x+E'y+F')-(x^2+y^2+Dx+Ey+F)=\lambda (Ax+By+C),$$ 于是结论二得证．

再证明结论三，经过两圆交点的所有圆的圆心都在确定的直线，即两圆圆心连线所在的直线上，所以在两圆圆心的横坐标不同，即$D_1\ne D_2$的情况下，只需要确定圆心的横坐标就可以唯一确定所求的圆．所以，如果我们可以说明曲线系表示的圆的圆心的横坐标可以取到圆$C_2$的圆心横坐标之外的所有值，则命题得证．事实上，曲线系表示的圆的圆心横坐标为

$$x=-\dfrac {D_1+\lambda D_2}{2(1+\lambda )},$$ 它的取值范围为 $$\left\{x\in\mathcal{R}|x\ne-\dfrac {D_2}{2}\right \}.$$ 即除了圆$C_2$外，交点曲线系方程可以表示所有过两圆交点的圆．当$D_1=D_2$时，考虑圆心的纵坐标即可．

注　所有曲线系方程都需要满足前提，即两条曲线确实存在交点．

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例题二　分别求过直线$2x+y+4=0$和圆$(x+1)^2+(y-2)^2=4$的交点，且满足下列条件的圆的方程：

(1) 过点$(-1,1)$；

(2) 有最小面积．

分析与解　注意先将圆化为一般方程，于是得到过直线与圆的交点的圆系方程可以表示为

$$x^2+y^2+2x-4y+1+\lambda (2x+y+4)=0.$$

(1)将$(-1,1)$的坐标代入可以计算得$\lambda =1$，所以所求圆的方程为

$$x^2+y^2+4x-3y+5=0.$$

(2)将圆的方程整理为

$$x^2+y^2+(2\lambda +2)x+(\lambda -4)y+(4\lambda +1)=0.$$ 于是圆的半径$r$满足 $$4r^2=(2\lambda +2)^2+(\lambda -4)^2-4(4\lambda +1)=5\lambda ^2-16\lambda +16.$$ 于是当$\lambda =\dfrac 85$时，圆的面积有最小值，此时圆的方程为 $$x^2+y^2+\dfrac {26}{5}x-\dfrac{12}{5}y+\dfrac {37}{5}=0.$$

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最后给出两道练习：

练习一　求经过直线$2x+3y-5=0$与$7x+15y+1=0$的交点，且平行于直线$x+2y-3=0$的直线方程．

答案　$9x+18y-4=0$．

练习二　求经过两圆$x^2+y^2-4x+2y=0$和$x^2+y^2-2y-4=0$的交点，且圆心在直线$2x+4y=1$上的圆的方程．

答案　$x^2+y^2-3x+y-1=0$．

提示　可以直接利用过两圆交点的圆系方程，也可以先求出两圆的相交弦所在的直线的方程，再由与例题二相同的方式处理，可以简化计算．