抽象集合具体化、形象化

集合中新定义问题很多，解决起来并没有统一思路，但是有些手段比较普遍．新定义问题通常比较抽象与陌生，所以可以尝试借助一些简单的例子或情形去帮助我们熟悉定义，对不熟悉的东西有一定感觉后再去尝试作出推论或者寻找证明方向．另外，对于抽象的描述，可以尝试用自己的语言重新表述；对于抽象集合的运算，可以尝试借助图形语言（数轴、韦恩图）与现有的运算结合起来思考．这些都是一些常用的处理手段．比如：

要判断集合$M=\left\{x\left|x=\dfrac k2+\dfrac 14,k\in\mathcal Z\right.\right \}$，$N=\left\{x\left|x=\dfrac k4+\dfrac 12,k\in\mathcal Z\right.\right \}$的关系．

我们可以尝试写出集合$M,N$中的元素，因为要比较集合间的关系，所以需要选择同一个起点往后或往前写，比如按从小到大的顺序写出几个大于零的数： $$\begin{split} M:\dfrac 14,\dfrac 34,\dfrac 54,\dfrac 74,\cdots,\\N:\dfrac 14,\dfrac 24,\dfrac 34,\dfrac 44,\cdots.\end{split}$$ 于是推测$M\subsetneqq N$，再去证明．尝试过程也给了我们提示，因为 $$\forall x\in M,x=\dfrac k2+\dfrac 14=\dfrac {2k+1}{4}=\dfrac {2k-1}{4}+\dfrac 12\in N,$$ 并且 $$\exists \dfrac 12\in N,\dfrac 12\notin M,$$ 所以$M\subsetneqq N$．

例题一　设$A$是整数集的一个非空子集，对于$k\in A$，如果$k-1\notin A$，且$k+1\notin A$，那么$k$是$A$的一个“孤立元”，给定$S=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$，由$S$的$3$个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有______个；由$S$的$4$个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有______个．

分析与解　“孤立元”的意思是一个数前后的数都不在集合中，而一个集合中没有“孤立元”，意味着每个元素都至少需要与一个别的元素相连．如果一个集合中只有三个元素，则它们只能是连续的三个整数，从而满足条件的三元集合只能有 $$\{1,2,3\},\{2,3,4\},\cdots,\{6,7,8\},$$ 所以共有$6$个集合；而四个元素的集合可以是连续的四个数，也可以两两相连，连续四个数构成的集合有 $$\{1,2,3,4\},\{2,3,4,5\},\cdots,\{5,6,7,8\}$$ 共有$5$个；两两相连的四个数列举如下： $$\begin{split} 1,2,+4,5;/5,6;/6,7;/7,8;\\2,3,+5,6;/6,7;/7,8;\\3,4,+6,7;/7,8;\\4,5,+7,8.\end{split}$$ 所以两两相连的四元集合的个数为 $$4+3+2+1=10.$$ 所以不含“孤立元”的四元集合共有$15$个．

例题二　对于集合$M$，定义函数 $$f_M(x)=\begin{cases} -1,x\in M,\\1,x\notin M.\end{cases}$$ 对于两个集合$M,N$，定义集合 $$M\Delta N=\{x\left|\right.f_M(x)\cdot f_N(x)=-1\}.$$ 已知$A=\{2,4,6,8,10\}$，$B=\{1,2,4,8,16\}$，用$|M|$表示有限集合$M$中的元素个数．
(1)集合$A\Delta B=$_______；
(2)当$M=\{1,2,3\}$时，$|M\Delta A|+|M\Delta B|=$______；
(3)对于任意集合$M$，$|M\Delta A|+|M\Delta B|$的最小值为_______．

分析与解　首先要去理解集合新定义的运算，如果$x\in M\Delta N$中，那么$f_M(x),f_N(x)$一正一负，即$x$恰好是$M,N$其中一个集合中的元素，如图：
于是问题(1)(2)可以直接得到结果．

(1)$A\Delta B=\{1,6,10,16\}$；

(2)$M\Delta A=\{1,3,4,6,8,10\},M\Delta B=\{3,4,8,16\}$，从而(2)的结果为$10$．

(3)下面考虑$M$中有哪些元素时，$|M\Delta A|+|M\Delta B|$最小．

如图，我们知道 $$C\cup M_1=\{2,4,8\},A_1\cup A_2=\{6,10\},B_1\cup B_2=\{1,16\}.$$ 而 $$\begin{split} M\Delta A=A_1\cup C\cup B_2\cup M_2,\\M\Delta B=B_1\cup C\cup A_2\cup M_2,\end{split}$$ 于是知 $$\begin{split} &|M\Delta A|+|M\Delta B|\\=&|A_1|+|C|+|B_2|+|M_2|+|B_1|+|C|+|A_2|+|M_2|\\=&4+2(|C|+|M_2|).\end{split}$$ 所以当 $$C=\varnothing,M_2=\varnothing$$ 时，有最小值$4$，此时$M_1=\{2,4,8\}\subseteq M$，而$6,10,1,16$是否是集合$M$中的元素并不影响结果．

练习一　已知集合$A=\{x|x=2k+1,k\in \mathcal Z\}$，$B=\{x|x=4k\pm 1,k\in\mathcal Z\}$，则下列关系正确的是（　　）
A．$A\subsetneqq B$
B．$B\subsetneqq A$
C．$A=B$
D．以上都不正确

答案　C

练习二　对任意两个集合$M,N$，定义$M-N=\{x|x\in M,\land x\notin N\}$（注：“$\land$”表示“且”），$M\Delta N=(M-N)\cup (N-M)$，记$M=\{x|x^2-3x-4\leqslant 0\}$，$N=\{x|x^2+x>0\}$，则$M\Delta N=$_______．

答案　$(-\infty,0]\cup (4,+\infty)$．

提示　数轴上只有一条线的部分就对应所求集合．