数轴表示法与端点分析

连续数集是一类常见的集合，连续数集的问题往往通过数轴表示法去解决，在含参的连续数集的关系与运算的问题中，需要特别注意的是端点往往需要单独作分析．

例题一　已知集合$A=\{x|x^2-x-2\leqslant 0\}$，$B=\{x|x^2+2mx+m^2-4<0\}$．
(1)若$A\subseteq B$，则$m$的取值范围是_________；
(2)若$A\subseteq\complement_{\mathcal{R}}B$，则$m$的取值范围是_________；
(3)若$B\subseteq\complement_{\mathcal{R}}A$，则$m$的取值范围是_________；
(4)若$A\cap B=\varnothing$，则$m$的取值范围是_________．

分析与解　$A=[-1,2]$，$B=(-m-2,-m+2)$，(1)(2)(3)题的示意图如下：

(1)当$A\subseteq B$时，先写出$m$满足的关系

$$\begin{cases} -m-2<-1,\\-m+2>2.\end{cases}$$ 解得$-1<m<0$．再考虑$m$是否包含端点值，即上述不等式等号取到时，包含关系是否成立？因为$A$是闭区间，而$B$是开区间，故等号取到时，不满足条件关系，故$m$的取值范围是$(-1,0)$；

(2)要满足$A\subseteq\complement_{\mathcal{R}}B$，则$m$满足

$$-m-2>2\lor -m+2<-1,$$ 解得 $$m<-4\lor m>3.$$ 下面再考虑等号取到时是否满足，两边都是闭区间，显然满足．故$m$取值范围是$(-\infty,-4]\cup[3,+\infty)$；

(3)不再单独考虑等号：因为集合$\complement_{\mathcal{R}}A$与$B$都是开区间，所以等号也可以取到，所以$m$满足

$$-m-2\leqslant -1\lor -m+2\geqslant 2,$$ 解得$m$取值范围是$(-\infty,-4]\cup[3,+\infty)$．

(4)因为集合一开一闭，所以等号可以取到（只有有一个区间是开区间，则交集为空集），结合数轴知$m$满足

$$-m-2\geqslant 2\lor -m+2\leqslant -1,$$ 解得$m$取值范围是$(-\infty,-4]\cup[3,+\infty)$．

注　事实上，(2)(3)(4)的条件等价．等号能否取到不需要一般性的总结与规律，单独考虑即可．“$\lor$”表示“或”．

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还有一类与绝对值不等式相关的问题，因为绝对值的几何意义为距离，用数轴表示尤其便利．

例题二　设集合$A=\{x\left|\right.|x-a|<3,x\in\mathcal{R}\}$，$B=\{x\left|\right .|x-b|>2,x\in\mathcal{R}\}$．
(1)若$A\subseteq B$，则实数$a,b$必满足________；
(2)若$A\cup B=\mathcal{R}$，则实数$a,b$必满足________．

分析与解　绝对值是有明确的几何意义的，即数轴上两点之间的距离，所以$A$是由离$a$距离小于$3$的点构成的集合，$B$是由离$b$的距离超过$2$的点构成的集合，于是固定$b$，让集合$A$动起来，即可直接得到$a,b$满足的关系．

(1)当$a,b$之间的距离不小于$5$时，有$A\subseteq B$，即$|a-b|\geqslant 5$．
(2)当$a,b$之间的距离小于$1$时，有$A\cup B=\mathcal{R}$，即$|a-b|<1$．

与绝对值相关的问题借助于距离的几何意义，通过数轴去看往往更快．

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最后给出两道练习：

练习一　已知集合$A=\{x|x^2-2x\leqslant 0,x\in\mathcal{R}\}$，$B=\{x|x\geqslant a\}$，若$A\cup B=B$，则实数$a$的取值范围是_________；若$B\subseteq \complement_{\mathcal{R}}{A}$，则$a$的取值范围是______．

答案　$(-\infty,0]$，$(2,+\infty)$．

练习二　已知集合$A=\{x\left|\right.|x-a|\leqslant 1,x\in\mathcal{R}\}$，$B=\{x\left|\right .|x-b|\leqslant 3,x\in\mathcal{R}\}$．若$A\subseteq B$，则实数$a,b$必须满足_________，若$A\cap B=\varnothing$，则实数$a,b$必须满足_____________．

答案　$|b-a|\leqslant 2$；$|a-b|>4$．