光线反射与最值

大自然中有很多精妙之处，比如蜂巢的结构可以使得蜜蜂用最少的材料造出最大的空间，比如光总是沿直线传播，即使在物体表面反射后，所走路线仍然是最短的．在数学中，最短距离问题往往可以通过某种对称，转化为两点之间的距离最短的问题．比如从初中开始，我们就很熟悉的这样的问题：已知点$A(2,2)$和点$B(-3,8)$，在$x$轴上求一点$M$，使得$|AM|+|BM|$取最小值．

我们只需要作$A$关于$x$轴的对称点$A'$，由

$$|AM|+|BM|=|A'M|+|BM|\geqslant |A'B|$$ 便可得到当$A',M,B$三点共线时，有最小值．从而得到$M(1,0)$．在光线反射问题中，因为光总是走最短距离的，所以将入射光线上的点关于反射面作对称，得到的点一定在反射光线上．

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例题一　(1)在直角坐标平面$xOy$内，一条光线从点$(2,4)$射出，经直线$x+y-1=0$反射后，经过点$(3,2)$，则反射光线的方程为_________；
(2)如图所示，已知$A(4,0)$，$B(0,4)$，从点$P(2,0)$射出的光线经直线$AB$反射后，再射到直线$OB$上，最后经直线$OB$反射后又回到$P$点，则光线所经过的路程是_______．

分析与解　(1)点$(2,4)$关于直线$x+y-1=0$的对称点在反射光线所在的直线上，由上一招可以直接写出对称点坐标为$(-3,-1)$，所以反射光线的方程为

$$y-2=\dfrac {2+1}{3+3}(x-3),$$ 整理得$x-2y+1=0$．

(2)由光线反射的性质知，点$P$关于$AB$的对称点$C$，与点$P$关于$OB$的对称点$D$都在第一次反射后的光线上，如图：

$AB$的方程为$x+y-4=0$，故$C(4,2)$，而$D(-2,0)$，光线所经过的路程就是$CD$的长，故为$2\sqrt{10}$．

注　入射光线与反射光线是相对的，如果光线反过来，从反射光线方向射入，则原来的入射光线就会变成反射光线，在处理光线相关问题时注意灵活转化．

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例题二　已知$P$是直线$y=x+1$上一点，$M,N$分别是圆$C_1:(x+4)^2+(y-4)^2=4$与圆$C_2:(x-3)^2+y^2=1$上的动点，则$|PM|-|PN|$的最大值为_______．

分析与解　因为$M,N$是相对独立的，要想$|PM|-|PN|$取到最大值，我们希望$|PM|$尽量大，$|PN|$尽量小．设$P$为圆$O$外的一点，$M$为圆上一点，我们来研究$|PM|$的最大值与最小值，如图：

我们有

$$\begin{split} |PM|\leqslant |PO|+|OM|=|PB|,\\|PN|\geqslant |PO|-|ON|=|PA|,\end{split}$$ 所以$|PM|$的最大值为$|PO|+r$，最小值为$|PO|-r$．

于是$|PM|-|PN|$的最大值为

$$|PC_1|+2-|PC_2|-1=|PC_1|-|PC_2|+1,$$ 如图，我们来求$|PC_1|-|PC_2|$的最大值．

作$C_1(-4,4)$关于直线$y=x+1$的对称点$C'_1(3,-3)$，则有

$$|PC_1|-|PC_2|=|PC_1'|-|PC_2|\leqslant |C_1'C_2|,$$ 如图，当点$P$为$C_1'C_2$的延长线与直线$y=x+1$的交点时，取到等号．容易计算得$|PM|-|PN|$的最大值为$6$．

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最后给出两道练习：

练习一　已知光线经过点$A(-1,2)$，由镜面所在直线$y=x$反射后经过点$B(1,4)$，则反射光线所在直线方程为_______．

答案　$5x+y-9=0$．

练习二　已知圆$C_1:(x-1)^2+(y-2)^2=1$，圆$C_2:(x-4)^2+(y-2)^2=9$，$M,N$分别是圆$C_1,C_2$上的动点，$P$为$x$轴上的动点，则$|PM|+|PN|$的最小值为______．

答案　$1$．