几何概型中的建模与转化

在几何概型问题中，如果所求概率本身已经与一种几何度量（长度、面积或体积）相关，比如$x\in [0,10]$，求$x^2>4$的概率．这个问题不需要进行转化，因为问题本身就可能看出是一个几何概型问题，所求概率就是区间$[2,10]$的长度与$[0,10]$的长度之比．但有些几何概型问题直接来源于实际问题，首先需要引入合适的未知数，转化为几何概型问题才能求解，本文想通过例题来讲讲如何进行建模与转化．

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例题一　将长为$1$的小棒折成三段．

（1）求三段长度都不超过$\dfrac 23$的概率．

（2）求三段恰好构成三角形的概率．

分析与解　要想确定小棒折成的三段长度，就需要确定折断的两个点的位置，可以取如下两个长度$x,y$为未知数（当然，也可以取其它的，只要能确定折断点位置即可）：

要让每个$(x,y)$的值与一种折断方式对应，$(x,y)$需要满足约束条件 $$\begin{cases} x>0,\\y>0,\\x+y<1.\end{cases}$$ 这是一个平面区域．

（1）三段长度都不超过$\dfrac 23$对应的$(x,y)$还需要满足约束条件 $$\begin{cases} x\leqslant \dfrac 23,\\y\leqslant \dfrac 23,\\1-(x+y)\leqslant \dfrac 23.\end{cases}$$ 对应的平面区域如下： 

故所求概率为$\dfrac 23$．

（2）三段长度可以构成三角形对应的$(x,y)$还需要满足 $$\begin{cases} x+y>1-(x+y),\\1-x>x,\\1-y>y.\end{cases}$$ 即 $$\begin{cases} x+y>\dfrac 12,\\x<\dfrac 12,\\y<\dfrac 12.\end{cases}$$ 对应的平面区域如下：

故所求概率为$\dfrac 12$．

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例题二　在单位圆的圆周上随机取三点$A,B,C$，求$\triangle ABC$是锐角三角形的概率．

分析与解　记$\overparen{AB}=x,\overparen{BC}=y$，则$\overparen{AC}=2\pi-x-y$．

固定点$A$，要使得$(x,y)$与$B,C$的位置对应，$(x,y)$需要满足 $$\begin{cases} x>0,\\y>0,\\2\pi-x-y>0.\end{cases}$$ 要使得$\triangle ABC$为锐角三角形，需要有 $$(x<\pi) \lor (y<\pi) \lor (2\pi -x-y<\pi),$$ 对应的平面区域如下：

故所求概率为$\dfrac 14$．

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练习一　尝试利用下面的参数$x,y$去计算例题一．

提示　（1）对应的平面区域如图：

（2）对应的平面区域如图：

练习二　要在相距$120$米的$A,B$两盏路灯间随机增加两个路灯，求这四盏路灯中任意相邻的两盏路灯的间隔都不小于$30$米的概率．

答案　$\dfrac {1}{16}$．