对数函数三板斧之“清君侧”

自然对数$\ln x$在高一时很不“自然”，但到高二学习导数时就完全不同了，因为 $$(\ln x)'=\dfrac 1x.$$ 自然对数是导数相关的问题中常见的函数组成部分，处理$\ln x$有三板斧——清君侧（让$\ln x$静静）、偷天换日（利用对数的运算性质换元）与毁尸灭迹（将$\ln x$放缩成其它函数，彻底消灭它），这三招处理$\ln x$非常有效．

设函数$f(x)$为可导函数，则有 $$\left(f(x)\cdot \ln x\right)'=f'(x)\ln x+f(x)\cdot \dfrac{1}{x}.$$ 这就意味着如果$f(x)$不为常函数，那么求导所得的式子中含有$\ln x$，这样往往使问题需要多次求导才能解决，处理这类函数的一个有效方法就是将$\ln x$前面的部分提出，然后研究剩余部分对应的函数，这种技巧形象的解释就是“清君侧”．

例题一   已知函数$f(x)=x\ln x$，若$f(x)\geqslant ax^2+\dfrac{2}{a}(a\ne 0)$在$(0,+\infty)$上恒成立，求$a$的最小值．

分析   直接移项需要处理函数$F(x)=x\ln x-ax^2-\dfrac{2}{a}$，它的导函数 $$F'(x)=\ln x+1-2ax,$$ 从它入手去研究$F(x)$的最小值有点复杂．为了避免求导后出现$\ln x$，可以尝试先“清除”函数$\ln x$前面的因式再求导．

解　设 $$F(x)=f(x)-ax^2-\dfrac{2}{a}=x\left(\ln x-ax-\dfrac{2}{ax}\right),$$ $F(x)$的定义域为$(0,+\infty)$，令 $$g(x)=\ln x-ax-\dfrac{2}{ax}(a\ne 0).$$ 则题目条件等价于$g(x)\geqslant 0$恒成立，即 $$g(x)_{\min }\geqslant 0.$$ 对$g(x)$求导得 $$g'(x)=\dfrac{-a^2\left(x+\dfrac{1}{a}\right)\left(x-\dfrac{2}{a}\right)}{ax^2}.$$ ①当$a>0$时，$g(1)=-a-\dfrac{2}{a}<0$，不满足题意；

②当$a<0$时，$g(x)$在$\left(0,-\dfrac{1}{a}\right)$上单调递减，在$\left(-\dfrac{1}{a},+\infty\right)$上单调递增，于是 $$g(x)_{\min}=g\left(-\dfrac{1}{a}\right)\geqslant 0,$$ 解得 $$-{\rm e}^3\leqslant a<0.$$ 综上，$a$的最小值为$-{\rm e}^3$．

例题二　若不等式 $$\frac{\ln x}{x+1}+\frac 1x>\frac{\ln x}{x-1}+\frac kx$$ 在$x>0$且$x\neq 1$时恒成立，求$k$的取值范围．

分析与解　首先处理不等式，原不等式等价于 $$\frac{\ln x}{x+1}+\frac 1x-\frac{\ln x}{x-1}-\frac kx>0,$$ 整理得 $$-\frac{2}{x^2-1}\cdot\ln x+\frac{1-k}x>0,$$ 提因式，有 $$-\dfrac{1}{x^2-1}\cdot\left[2\ln x+(k-1)\left(x-\frac 1x\right)\right]>0.$$ 设 $$f(x)=2\ln x+(k-1)\cdot\left(x-\frac 1x\right),$$ 则题中不等式等价于 $$\left(\forall 0<x<1, f(x)>0\right)\land\left(\forall x>1,f(x)<0\right).\qquad\cdots (*)$$ 通过求导研究函数$f(x)$，有 $$f'(x)=\frac 1{x^2}\cdot\left[(k-1)x^2+2x+k-1\right],$$ 注意到$f(1)=0$，所以有$f'(1)\leqslant 0$，解得$k\leqslant 0$．

于是以$0,1$为分界点对$k$进行讨论：

①当$k\leqslant 0$时，$(k-1)x^2+2x+k-1\leqslant 0$恒成立，即$f'(x)\leqslant 0$，$f(x)$单调递减，满足题意；

②当$k\geqslant 1$时，$f'(x)\geqslant 0$，$f(x)$单调递增，不符合题意；

③当$0<k<1$时，分子对应的二次函数有零点$x_1,x_2$（令$x_1<x_2$），因为$x_1x_2=1$，所以有$0<x_1<1<x_2$，于是$f(x)$在$(x_1,1)$上单调递增，此时$f(x)<f(1)=0$，不符合题意；

综上知$k$的取值范围为$(-\infty,0]$．

注　本题是2011年高考新课标II卷压轴题，见每日一题[49]分离对数函数．

最后给出一道练习：

判断函数$f(x)=\dfrac{\ln x}{x}-x+1$的零点个数．

答案　$f(x)$有且仅有一个零点$1$．

提示　考虑函数 $$h(x)=\ln x-x^2+x,$$ 的零点即可．

注  在每周一招[4]恒成立问题中的端点分析的例题二中，就是首先使用了“清君侧”这一手段，使研究的函数更加简便．更多“清君侧”相关的问题见每日一题[307]清君侧，靖国难．

在本文的例题二中通过对$x=1$处的导数值的正负分析得到参数讨论的分界点，这是上周的端点分析的一般情况：即通过判断函数值相等的地方导函数的值的正负缩小参数的范围．