导数公式逆用中的函数构造

在导数中，我们经常遇到这样的问题，题目条件给出一个与$f(x)$与$f'(x)$都相关的函数不等式，要解决某些与该函数相关的不等式问题，如

定义在$\left(0,\dfrac {\pi}{2}\right )$上的函数$f(x)$的导函数为$f'(x)$，且恒有$f(x)\cdot\tan x<f'(x)$成立，则（　　）

A．$\sqrt 3f\left(\dfrac {\pi}{4}\right )>\sqrt 2f\left(\dfrac {\pi}{3}\right )$

B．$f(1)<2f\left(\dfrac {\pi}{6}\right )\sin 1$

C．$\sqrt 2f\left(\dfrac {\pi}{6}\right )>f\left(\dfrac {\pi}{4}\right )$

D．$\sqrt 3f\left(\dfrac {\pi}{6}\right )<f\left(\dfrac {\pi}{3}\right )$

关键是题中不等式如何利用，我们知道

$$(\sin x)'=\cos x,(\cos x)'=-\sin x,$$ 于是构造函数$F(x)=f(x)\cos x$，由题中不等式得 $$[F(x)]'=\cos x\big(f'(x)-f(x)\cdot \tan x\big)>0.$$ 即$F(x)$在$\left(0,\dfrac {\pi}{2}\right )$上单调递增，从而有 $$f(0)<\dfrac {\sqrt 3}{2}f\left(\dfrac {\pi}{6}\right )<\dfrac {\sqrt 2}{2}f\left(\dfrac {\pi}{4}\right )<\dfrac 12f\left(\dfrac {\pi}{3}\right )<0.$$ 故D正确．

这类问题，通常都是根据所给函数不等式的形式去构造出新的函数$F(x)$，使得题中的函数不等式为$F'(x)$的一个因式，从而得到$F'(x)$的正负，推导出想要的结论，如何构造新的函数有下面两个最常见的模型：

模型一　

$$\big({\mathrm e}^{ax}\cdot f(x)\big)'={\mathrm e}^{ax}\big(af(x)+f'(x)\big),$$ 当$a=1$时，会出现因式$f(x)+f'(x)$；当$a=-1$时，会出现因式$f(x)-f'(x)$，这是此模型中最常见的两种形式；

模型二　

$$\big(x^b\cdot f(x)\big)'=x^{b-1}\big(bf(x)+xf'(x)\big),$$ 当$b=1$时，会出现因式$f(x)+xf'(x)$；当$b=-1$时，会出现因式$f(x)-xf'(x)$，这是此模型中最常见的两种形形式．

例题一　设定义在$\mathcal{R}$上的函数$f(x)$的导函数为$f'(x)$，且满足$f'(x)<f(x)$，$f(0)=1$，则不等式$f(x)<{\mathrm e}^x$的解集为______．

分析与解　由模型一知，当$a=-1$时，有

$$\big(f(x)\cdot {\mathrm e}^{-x}\big)={\mathrm e}^{-x}\big(f'(x)-f(x)\big),$$ 于是构造函数$F(x)=f(x)\cdot{\mathrm e}^{-x}$知$F'(x)<0$，即$F(x)$在$\mathcal {R}$上单调递减，所解不等式即 $$F(x)=f(x){\mathrm e}^{-x}<1=F(0),$$ 所以$x>0$，所求解集为$(0,+\infty)$．

这类问题还常常与函数的奇偶性结合在一起考察，如：

例题二　已知定义在$\mathcal{R}$上的奇函数$f(x)$的导函数为$f'(x)$，当$x\ne 0$时，$f'(x)+\dfrac {f(x)}{x}>0$，若$a=\dfrac 12f\left(\dfrac 12\right )$，$b=-2f(-2)$，$c=\left(\ln\dfrac 12\right )f\left(\ln\dfrac 12\right )$，则$a,b,c$的大小关系为________．

分析与解　由模型二知

$$f'(x)+\dfrac {f(x)}{x}=\dfrac {\big(xf(x)\big)'}{x},$$ 于是构造函数$F(x)=xf(x)$，有 $$\big(x>0,F'(x)>0\big)\land \big(x<0,F'(x)<0\big),$$ 即函数$F(x)$在$(-\infty,0)$上单调递减，在$(0,+\infty)$上单调递增．又因为$F(x)$是定义在$\mathcal{R}$上的偶函数，且由$\dfrac 12<\ln 2<2$知 $$F\left(\dfrac 12\right )<F(\ln 2)=F\left(\ln\dfrac 12\right )<F(2)=F(-2),$$ 所以$a<c<b$．

下面给出两道练习：

练习一　已知定义在$\mathcal{R}$上的奇函数$f(x)$的导函数为$f'(x)$，$f(-1)=0$，当$x>0$时，$xf'(x)-f(x)<0$，则$f(x)>0$的解集为_______．

答案　$(-\infty,-1)\cup (0,1)$．

提示　构造函数$F(x)=x^{-1}f(x)$．

练习二　已知定义在$\mathcal{R}$上的函数$f(x)$的导函数为$f'(x)$，且$2f(x)+xf'(x)>x^2$，下面的不等式在$\mathcal{R}$上恒成立的是（　　）

 A．$f(x)>0$

B．$f(x)<0$

C．$f(x)>x$

D．$f(x)<x$

答案　A

提示　构造函数$F(x)=x^2f(x)$，注意需要利用$x^3$去决定导函数的正负．

两个模型的结合考查见每日一题[55]合体攻击combos．