一般圆锥曲线的“垂径定理”

已知某椭圆的焦点是$F_1(-4,0)$，$F_2(4,0)$，过点$F_2$并垂直于$x$轴的直线与椭圆的一个交点为$B$，且$|F_1B|+|F_2B|=10$．椭圆上不同的两点$A(x_1,y_1)$，$C(x_2,y_2)$满足条件：$|F_2A|$、$|F_2B|$、$|F_2C|$成等差数列．

(1) 求该椭圆的方程；

(2) 求弦$AC$中点的横坐标；

(3) 设弦$AC$的垂直平分线的方程为$y=kx+m$，求$m$的取值范围．

---

(1) $\dfrac {x^2}{25}+\dfrac {y^2}9=1$；

(2) 由椭圆的焦半径公式以及椭圆的通径长公式

$$(a-ex_1)+(a-ex_2)=2\cdot \dfrac {b^2}{a}$$ 不难得到$x_1+x_2=8$．于是弦$AC$中点$M(x_0,y_0)$的横坐标$x_0=4$；

(3) 由椭圆的垂径定理，得

$$k_{AC}\cdot k_{OM} = - \dfrac {b^2}{a^2}=-\dfrac 9{25}.$$

根据题意又有

$$k\cdot k_{AC}=-1.$$

两式相除，得

$$k=\dfrac {25}9 \cdot k_{OM} = \dfrac {25y_0}{36}.$$

另一方面，由于$M$在弦$AC$的垂直平分线上，于是

$$m=y_0-4k=-\dfrac {16y_0}9.$$

因为$y_0$的取值范围为$\left(-\dfrac 95,\dfrac 95\right)$，因此$m$的取值范围是$\left(-\dfrac {16}5,\dfrac {16}5\right)$．

最后顺便指出，弦$AC$的垂直平分线过$x$轴上的定点．

---

        值得注意的是，不仅圆、椭圆、双曲线这些有心二次曲线有“垂径定理”，双曲线的两条渐近线$\dfrac {x^2}{a^2} - \dfrac {y^2}{b^2}=0$作为退化的双曲线，也有与双曲线相似的“垂径定理”．下题（2014年浙江理16）就是很经典的一例：

---

设直线$x-3y+m=0(m\neq 0)$与双曲线$\dfrac {x^2}{a^2}-\dfrac {y^2}{b^2}=1(a>1,b>0)$的两条渐近线分别交于点$A$、$B$．若点$P(m,0)$满足$|PA|=|PB|$，则该双曲线的离心率是________．

设弦$AB$的中点为$M(x_0,y_0)$ ,则根据题意，

$$x_0-3y_0+m=0,\dfrac {y_0-0}{x_0-m}\cdot \dfrac 13=-1.$$ 解之得$\dfrac {y_0}{x_0}=\dfrac 34$．

由“垂径定理”，有

$$\dfrac {y_0}{x_0}\cdot \dfrac 13=\dfrac {b^2}{a^2}\Rightarrow a^2=4b^2.$$

因此可得该双曲线的离心率$e=\dfrac {\sqrt 5}2$．