解析几何解题技巧之极坐标

解析几何问题的基本解题思路，就是借助点的坐标来表达条件，设直线的方程将坐标统一为横坐标或纵坐标，最后利用直线方程与椭圆方程的联立进行消参．但是，在实际的解题实践中，很多几何条件并不方便借助点的直角坐标来表达，此时恰当地引入极坐标处理问题会大幅简化运算．一般适用于极坐标表达的条件有：垂直、特殊三角形等等．

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例1、利用极坐标表达垂直．

（2014年高考北京卷理科数学第19题）已知椭圆$C:x^2+2y^2=4$．

（1）求椭圆$C$的离心率；
（2）设$O$为原点，若点$A$在椭圆$C$上，点$B$在直线$y=2$上，且$OA\perp OB$，试判断直线$AB$与圆$x^2+y^2=2$的位置关系，并证明你的结论．

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（1）解    $e=\dfrac {\sqrt 2}2$；

（2）解    设$A(\rho_A \cos\theta,\rho_A \sin\theta),B\left(\rho_B \cos\left(\theta+\dfrac {\pi}2\right),\rho_B \sin \left(\theta+\dfrac {\pi}2\right)\right)$则

$$\begin{split}\rho_A^2\cos^2\theta+2\rho_A^2\sin^2\theta&=4,\\\rho_B\sin\left(\theta+\dfrac {\pi}2\right)&=2.\end{split}$$ 从而 $$\dfrac 1{\rho_A^2}=\dfrac 14\cos^2\theta+\dfrac 12\sin^2\theta,\dfrac 1{\rho_B^2}=\dfrac 14\cos^2\theta.$$ 而在$\mathrm{Rt}\triangle OAB$中，原点到直线$AB$的距离$d$满足 $$\dfrac 1{d^2}=\dfrac 1{OA^2}+\dfrac 1{OB^2}=\dfrac 12.$$ 因此直线$AB$与圆$x^2+y^2=2$相切．

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 例2、利用极坐标表达特殊三角形．

（2014年北京东城二模）已知椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$的一个焦点为$F(2,0)$，且离心率为$\dfrac{\sqrt 6}3$．

（1）求椭圆方程；

（2）斜率为$k$的直线$l$过点$F$，且与椭圆交于$A$、$B$两点，$P$为直线$x=3$上的一点，若三角形$ABP$为等边三角形，求直线$l$的方程．

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（1）解    椭圆方程为

$$\dfrac{x^2}6+\dfrac{y^2}2=1.$$

（2）解    设直线$AB$的倾斜角为$\theta$，线段$AB$的中点为$M$．

由椭圆的极坐标方程得

$$\begin{split}\overrightarrow{FA}&=\dfrac{2}{\sqrt 6+2\cos\theta}\left(\cos\theta,\sin\theta\right),\\\overrightarrow{FB}&=-\dfrac{2}{\sqrt 6-2\cos\theta}\left(\cos\theta,\sin\theta\right),\end{split}$$ 进而可得 $$\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{FA}-\overrightarrow{FB}=\dfrac{4\sqrt 6}{6-4\cos^2\theta}\left(\cos\theta,\sin\theta\right),$$ 于是 $$\begin{split}\overrightarrow{MP}&=\dfrac{\sqrt 3}2\left|\overrightarrow{BA}\right|\left(\cos\left(\theta-\dfrac{\pi}2\right),\sin\left(\theta-\dfrac{\pi}2\right)\right)\\&=\dfrac{6\sqrt 2}{6-4\cos^2\theta}\left(\sin\theta,-\cos\theta\right).\qquad\cdots (*)\end{split}$$

另一方面，由中点坐标公式，有

$$\overrightarrow{FM}=\dfrac 12\left(\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}\right)=\left(-\dfrac{4\cos^2\theta}{6-4\cos^2\theta},-\dfrac{4\cos\theta\sin\theta}{6-4\cos^2\theta}\right),$$ 因此$M$的横坐标为 $$2-\dfrac{4\cos^2\theta}{6-4\cos^2\theta}.\qquad\cdots (**)$$

于是由(*)(**)有两种方式表达$\overrightarrow{MP}$的横坐标，可以得到方程

$$3-\left(2-\dfrac{4\cos^2\theta}{6-4\cos^2\theta}\right)=\dfrac{6\sqrt 2}{6-4\cos^2\theta}\cdot\sin\theta,$$ 解得 $$\sin\theta=\dfrac{\sqrt 2}2,$$ 进而可得直线$l$的方程为 $$l:x=\pm y+2.$$

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 下面给出几道练习题．

练习1、（2014年北京丰台二模）已知椭圆$E:\dfrac{x^2}8+\dfrac{y^2}4=1$与直线$l:y=kx+m$交于$A,B$两点，$O$为坐标原点．

（1）若直线$l$过椭圆$E$的左焦点，且$k=1$，求三角形$AOB$的面积；

（2）若$OA\perp OB$，且直线$l$与圆$O:x^2+y^2=r^2$相切，求圆$O$的半径$r$的值．

练习2、双曲线$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(b>a>0)$，$O$为坐标原点，离心率$e=2$，点$M\left(\sqrt 5,\sqrt 3\right)$在双曲线上．

（1）求双曲线的方程；

（2）若直线$l$与双曲线交于$P$、$Q$两点，且$\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ}=0$，求$\dfrac{1}{OP^2}+\dfrac{1}{OQ^2}$的值．

练习3、已知点$P_1,P_2,\cdots,P_n$为椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$上的$n$个点，且$OP_1,OP_2,\cdots,OP_n$将原点处的周角$n$等分．求证

$$\dfrac{1}{OP_1^2}+\dfrac{1}{OP_2^2}+\cdots+\dfrac{1}{OP_n^2}$$ 为定值．

练习4、求抛物线$y^2=2px(p>0)$的内接等腰直角三角形面积的最小值．

练习5、在平面直角坐标系$xOy$中，直角三角形$ABC$的三个顶点都在椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+y^2=1$（$a>0$）上，其中$A(0,1)$为直角顶点，若该三角形的面积的最大值为$\dfrac{27}{8}$，求$a$的值．

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参考答案：练习1、（1）$8/3$；（2）$\dfrac{2\sqrt 6}3$．

练习3、（1）$\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{12}=1$；（2）定值为$\dfrac{1}{a^2}-\dfrac{1}{b^2}=\dfrac 16$．

练习3、定值为$\dfrac{n}{2}\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}\right)$．

练习4、http://lanqi.org/?p=632

练习5、$3$．