这是我的学生朱怡洁在2014年12月19日问我的题目：
求所有的多项式\(f(x)\)，使\[f\left(x^2\right)=f(x)\cdot f(x+1).\]
我个人认为不可能存在满足题意的多项式，因为考虑\(f(x)\)的所有复根，将这些复根以及这些复根向左平移一个单位恰好是这些复根的平方根．我认为这种情形是不存在的．
2021年6月29日，by xixiggg．
若 $f(x)$ 为常数多项式，易知 $f(x)=0$ 或 $1$．下设 $f(x)$ 不为常数多项式．比较 $f\left(x^2\right)$ 与 $f(x)f(x+1)$ 的首项可知 $f(x)$ 的首项系数为 $1$，于是\[f\left(x^2\right)=f(x)f(x+1),\]等价于 $f\left(x^2\right)$ 与 $f(x)f(x+1)$ 的根相同．对 $f(x)$ 的任意根 $\alpha$，则 $\alpha$ 为 $f\left(x^2\right)$ 的根，从而 $\alpha^2$ 为 $f(x)$ 的根，由此结合简单的归纳法知 $\forall k\in\mathbb N$，$\alpha^{2^k}$ 也为 $f(x)$ 的根．结合 $f(x)$ 只有有限个根知 $|\alpha|=1$ 或 $|\alpha=0|$，即 $f(x)$ 只有模长为 $1$ 的根或根 $0$． 若 $\alpha$ 为 $f(x)$ 的根，则 $\alpha-1$ 为 $f(x+1)$ 的根，从而 $\alpha-1$ 为 $f\left(x^2\right)$ 的根，从而 $(\alpha-1)^2$ 为 $f(x)$ 的根，因此 $\alpha-1=0$ 或 $|\alpha-1|=1$，又 $\alpha=0$ 或 $|\alpha|=1$，可得\[\alpha=0,1,\dfrac 12\pm\dfrac{\sqrt {3}}2{\rm i},\]又注意到 $\alpha^2$ 为 $f(x)$ 的根，于是我们有\[\alpha^2=0,1,\dfrac 12\pm\dfrac{\sqrt 3}2{\rm i},\]因此可得 $\alpha=0,1$，从而\[f(x)=x^u(x-1)^v,u,v\in\mathbb N^{\ast},\]从而\[f(x^2)=f(x)f(x+1)\iff x^{2u}(x-1)^v(x+1)^v=x^{u+v}(x-1)^v(x+1)^u,\]可得 $u=v$，综上所述，$ f(x)=0,1 $ 或 $ f(x)=x^n(x-1)^n $，其中 $ n $ 为正整数．
x^n(x-1)^n这个是可以的。
\( a_i = 0, i \in \{n-1, n-2, ... 1\}\)
然后 a_0 = 0, 1
原题描述为关于x的多项式…我认为排除了常数函数…实在晦暗…
设\(f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_0\), 则
\(a_n x^{2n} + a_{n-1} x^{2n-2} + \dots + a_0 = (a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_0)(a_n (x+1)^{n} + a_{n-1} (x+1)^{n-1} + \dots + a_0)\)
那么 \( a_n = a_n^2 \)
所以 \(a_n = 0 or 1 \)
如果 \(a_n = 1 \) 那么等式右边存在 \(x^{2n-1}\)项，等式不成立，
所以 \(a_n = 0 \)
同理 \(a_i = 0 for i in (0, 1, \dots, n-1) \)
所以该多项式只有一个： \( f(x) = 0 \)
（零多项式也是多项式）
还有一个 \( f(x) = 1 \)