题拍拍征解问题[19]（已解决）

已知$\triangle ABC$ 内接于圆 $O$，$CD$ 为圆 $O$ 的切线，连接 $AD,BD,AD$ 交圆 $O$ 于点 $G$，$BD$ 分别交圆 $O$，$AC$ 于点 $E,H$，满足 $AB\cdot DH=AD\cdot BH$．连接 $CG,AE$ 并延长交 $CD$ 于点 $F$，若 $\cos\angle BAD=\dfrac{24}{25}$，$\tan\angle ACB=\dfrac{11}2$，$AG=\dfrac{11\sqrt 5}3$，求 $\triangle DEF$ 的面积．

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2021年6月30日，by xixiggg：

设 $P$ 关于 $\odot O$ 对径点为 $Q$，$QH,CH$ 与 $\odot O$ 另一交点分别为 $R,K$．

熟知 $H,K$ 关于 $AB$ 对称，又

$$\angle KHF=\angle KCP=\angle KRP=\angle KRH-90^{\circ}.$$ 由上述两条件可知 $F$ 即为 $\triangle HRK$ 外心．（设 $F'$ 为 $\triangle HRK$ 外心，则有 $F'$ 在 $HK$ 中垂线上且 $\angle F'HK=\angle HRK-90^{\circ}$，于是 $F\equiv F'$．）因此，$F$ 在 $HR$ 中垂线上．同理，$D$，$E$ 也在 $HR$ 中垂线上．又注意到 $M$ 为直角 $\triangle HRP$ 的外心，所以 $M$ 在 $HR$ 中垂线上．因此 $D,E,F,M$ 四点共线．