题拍拍征解问题[12]（已解决）

『3758108』设正实数 $x,y,z$ 满足 $x^3+y^3+z^3=5xyz$，求\[f=(x+y+z)\left(\dfrac 1x+\dfrac 1y+\dfrac 1z\right)\]的最大值与最小值．

解法一（post by tzy）

不妨设 $p=x+y+z=1$，$q=xy+yz+zx$，$r=xyz$，则由\[x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)\]可得\[2r=1-3q\iff q=\dfrac{1-2r}3.\]而由 $(x-y)^2(y-z)^2(z-x)^2\geqslant 0$，可得\[\sum_{\rm cyc}\left(x^4y^2+x^2y^4+2x^3y^2z+2x^2y^3z-2x^3y^3-2x^4yz-2x^2y^2z^2\right),\]也即\[(p^2q^2-2q^3+4pqr-3r^2-2p^3r)+2r(pq-3r)-2(q^3-3pqr+3r^2)-2r(p^3-3pq+3r)-6r^2\geqslant 0,\]也即\[p^2q^2-4q^3-4p^3r+18pqr-27r^2\geqslant 0,\]将 $p=1$，$q=\dfrac{1-2r}3$ 代入，可得\[-1+66r-1089r^2+32r^3\geqslant 0\iff 17-12\sqrt 2\leqslant r\leqslant \dfrac{1}{32},\]而原式\[f=\dfrac{1}{3r}-\dfrac 23,\]于是当 $r=17-12\sqrt 2$，即 $(x,y,z)=\left(\sqrt 2-1,\sqrt 2-1,3-2\sqrt 2\right)_{\rm cyc}$ 时，$f$ 取得最大值 $5+4\sqrt 2$；当 $r=\dfrac{1}{32}$，即 $(x,y,z)=\left(\dfrac 14,\dfrac 14,\dfrac 12\right)_{\rm cyc}$ 时 $f$ 取得最小值 $10$．

解法二（post by louxin2020）

不妨设 $x+y+z=1$，$x,y,z\in (0,1)$，则\[x^3+y^3+z^3=5xyz\iff (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)=2xyz,\]即\[1-3\big(xy+(1-z)z\big)=2xyz\iff xy=\dfrac{3z^2-3z+1}{3+2z},\]又\[xy\leqslant \left(\dfrac{x+y}2\right)^2=\dfrac{(1-z)^2}{4},\]于是\[\dfrac{3z^2-3z+1}{3+2z}\leqslant \dfrac{(1-z)^2}{4}\iff 2z^3-13z^2+8z-1\geqslant 0,\]即\[\left(z-\dfrac 12\right)\big(z-(3-2\sqrt 2)\big)\big(z-(3+2\sqrt 2)\big)\geqslant 0,\]又 $z\in (0,1)$，从而 $3-2\sqrt 2\leqslant z\leqslant \dfrac 12$．而\[f=\dfrac 1x+\dfrac 1y+\dfrac 1z=\dfrac{xy+yz+zx}{xyz}=\dfrac{1-2xyz}{3xyz}=\dfrac 13\left(\dfrac1{xyz}-2\right),\]于是设 $g=\dfrac{1}{xyz}$，则\[g(z)=\dfrac{3+2z}{z(3z^2-3z+1)},\]进而\[g'_z=\dfrac{-3(4z-1)\big(z-(\sqrt 2-1)\big)\big(z-(-\sqrt 2-1)\big)}{z^2(1-3z+3z^2)^2},\]从而 $g(z)$ 在 $z\in\left[3-2\sqrt 2,\dfrac 14\right]$ 上单调递增，在 $\left[\sqrt 2-1,\dfrac 12\right]$ 上单调递减，而\[\begin{split} g\left(3-2\sqrt 2\right)=17+12\sqrt 2,\\ g\left(\sqrt 2-1\right)=17+12\sqrt 2,\\ g\left(\dfrac 14\right)=32,\end{split}\]因此可得当 $z=3-2\sqrt 2$ 或 $\sqrt 2-1$ 时，即 $(x,y,z)=\left(\sqrt 2-1,\sqrt 2-1,3-2\sqrt 2\right)_{\rm cyc}$ 时，$f$ 取得最大值为 $5+4\sqrt 2$；当 $z=\dfrac 14$ 时，即 $(x,y,z)=\left(\dfrac 14,\dfrac 14,\dfrac 12\right)_{\rm cyc}$ 时，$f$ 取得最小值为 $10$．