题拍拍征解问题[12](已解决)

『3758108』设正实数 $x,y,z$ 满足 $x^3+y^3+z^3=5xyz$,求\[f=(x+y+z)\left(\dfrac 1x+\dfrac 1y+\dfrac 1z\right)\]的最大值与最小值.

解法一(post by tzy)

不妨设 $p=x+y+z=1$,$q=xy+yz+zx$,$r=xyz$,则由\[x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)\]可得\[2r=1-3q\iff q=\dfrac{1-2r}3.\]而由 $(x-y)^2(y-z)^2(z-x)^2\geqslant 0$,可得\[\sum_{\rm cyc}\left(x^4y^2+x^2y^4+2x^3y^2z+2x^2y^3z-2x^3y^3-2x^4yz-2x^2y^2z^2\right),\]也即\[(p^2q^2-2q^3+4pqr-3r^2-2p^3r)+2r(pq-3r)-2(q^3-3pqr+3r^2)-2r(p^3-3pq+3r)-6r^2\geqslant 0,\]也即\[p^2q^2-4q^3-4p^3r+18pqr-27r^2\geqslant 0,\]将 $p=1$,$q=\dfrac{1-2r}3$ 代入,可得\[-1+66r-1089r^2+32r^3\geqslant 0\iff 17-12\sqrt 2\leqslant r\leqslant \dfrac{1}{32},\]而原式\[f=\dfrac{1}{3r}-\dfrac 23,\]于是当 $r=17-12\sqrt 2$,即 $(x,y,z)=\left(\sqrt 2-1,\sqrt 2-1,3-2\sqrt 2\right)_{\rm cyc}$ 时,$f$ 取得最大值 $5+4\sqrt 2$;当 $r=\dfrac{1}{32}$,即 $(x,y,z)=\left(\dfrac 14,\dfrac 14,\dfrac 12\right)_{\rm cyc}$ 时 $f$ 取得最小值 $10$.

解法二(post by louxin2020)

不妨设 $x+y+z=1$,$x,y,z\in (0,1)$,则\[x^3+y^3+z^3=5xyz\iff (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)=2xyz,\]即\[1-3\big(xy+(1-z)z\big)=2xyz\iff xy=\dfrac{3z^2-3z+1}{3+2z},\]又\[xy\leqslant \left(\dfrac{x+y}2\right)^2=\dfrac{(1-z)^2}{4},\]于是\[\dfrac{3z^2-3z+1}{3+2z}\leqslant \dfrac{(1-z)^2}{4}\iff 2z^3-13z^2+8z-1\geqslant 0,\]即\[\left(z-\dfrac 12\right)\big(z-(3-2\sqrt 2)\big)\big(z-(3+2\sqrt 2)\big)\geqslant 0,\]又 $z\in (0,1)$,从而 $3-2\sqrt 2\leqslant z\leqslant \dfrac 12$.而\[f=\dfrac 1x+\dfrac 1y+\dfrac 1z=\dfrac{xy+yz+zx}{xyz}=\dfrac{1-2xyz}{3xyz}=\dfrac 13\left(\dfrac1{xyz}-2\right),\]于是设 $g=\dfrac{1}{xyz}$,则\[g(z)=\dfrac{3+2z}{z(3z^2-3z+1)},\]进而\[g'_z=\dfrac{-3(4z-1)\big(z-(\sqrt 2-1)\big)\big(z-(-\sqrt 2-1)\big)}{z^2(1-3z+3z^2)^2},\]从而 $g(z)$ 在 $z\in\left[3-2\sqrt 2,\dfrac 14\right]$ 上单调递增,在 $\left[\sqrt 2-1,\dfrac 12\right]$ 上单调递减,而\[\begin{split} g\left(3-2\sqrt 2\right)=17+12\sqrt 2,\\ g\left(\sqrt 2-1\right)=17+12\sqrt 2,\\ g\left(\dfrac 14\right)=32,\end{split}\]因此可得当 $z=3-2\sqrt 2$ 或 $\sqrt 2-1$ 时,即 $(x,y,z)=\left(\sqrt 2-1,\sqrt 2-1,3-2\sqrt 2\right)_{\rm cyc}$ 时,$f$ 取得最大值为 $5+4\sqrt 2$;当 $z=\dfrac 14$ 时,即 $(x,y,z)=\left(\dfrac 14,\dfrac 14,\dfrac 12\right)_{\rm cyc}$ 时,$f$ 取得最小值为 $10$.

此条目发表在问题征解分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

题拍拍征解问题[12](已解决)》有3条回应

  1. tzy说:

    不妨设x+y+z=1.xyz=r. \\
    则条件等价于xy+yz+zx= \frac{1-2r}{3}\\
    于是r< \frac{1}{2}\\
    又(x-y)^2 (y-z)^2 (z-x)^2 \geq 0,整理得\\
    \frac{1}{32} \leq r \leq 17+12 \sqrt{2}. \\
    于是\frac{1}{32} \leq r < \frac{1}{2}.\\
    而原式= \frac{1}{3r} - \frac{2}{3}\\
    于是原式的范围为(0,10]

    • tzy说:

      $之前的答案有误.\\
      不妨设x+y+z=1.xyz=r. \\
      则条件等价于xy+yz+zx= \frac{1-2r}{3}\\
      又(x-y)^2 (y-z)^2 (z-x)^2 \geq 0,整理得\\
      \frac{1}{32} \geq r \geq 17-12 \sqrt{2}. \\
      而原式= \frac{1}{3r} - \frac{2}{3}\\
      于是原式的范围为[10,5+4 \sqrt{2}]\\
      x=y=1/4,z=1/2时原式=10\\
      x=y= \sqrt{2}-1,z=3-2 \sqrt{2}时原式=5+4 \sqrt{2}\\
      (新答案依然可能有误,欢迎指正.)
      $

发表评论