题拍拍征解问题[13]（已解决）

『3820992』已知等边六边形的三对对边分别平行，且三组对边之间的距离分别为 $192,195,237$，则此六边形的面积为_______．

2020年11月8日，兰琦提供．

解析

过 $A$ 作 $BC$ 的平行线，过 $C$ 作 $DE$ 的平行线，设 $P$ 为两条平行线的交点，连接 $PE$．由于 $ABCP$ 为菱形，于是 $PA=PC$，因此 $PC$ 与 $ED$ 平行且相等，$PA$ 与 $EF$ 平行且相等，因此 $PCDE,PEFA$ 均为菱形，如图．

记 $h_1=d(FA,CD)=192$，$h_2=d(BC,EF)=195$，$h_3=d(CD,Fa)=237$，等边六边形的每条边长均为 $a$，则六边形 $ABCDEF$ 的面积

$$\begin{split} S&=[ABCP]+[CDEP]+[EFAP]\\ &=\dfrac {[ABCP]+[CDEF]}2+\dfrac{[CDEF]+[EFAP]}2+\dfrac{[EFAP]+[ABCP]}2\\ &=\dfrac 12a(h_1+h_2+h3),\end{split}$$ 设 $\angle ABC=\angle DEF=\alpha$，$\angle BCD=\angle EFA=\beta$，$\angle EFA=\angle BCD=\gamma$，则 $$h_3=BC\sin\angle BCP+CD\sin\angle PCD=a(\sin\alpha+\sin\beta),$$ 类似的，有 $$\begin{split} h_1=a(\sin\beta+\sin\gamma),\\ h_2=a(\sin\gamma+\sin\alpha),\end{split}$$ 于是 $$\begin{cases} \sin\alpha=\dfrac{h_2+h_3-h_1}a=\dfrac{240}{a},\\ \sin\beta=\dfrac{h_3+h_1-h_2}a=\dfrac{234}a,\\ \sin\gamma=\dfrac{h_1+h_2-h_3}a=\dfrac{150}a,\end{cases}$$ 于是 $\alpha,\beta,\gamma$ 是边长为 $240,234,150$ 的三角形的各边对应内角的补角，因此 $$|\cos\alpha|=\dfrac{234^2+150^2-240^2}{2\cdot 234\cdot 150}=\dfrac 7{25}\implies \sin\alpha=\dfrac{24}{25}\implies a=125,$$ 从而 $$S=\dfrac 12a(h_1+h_2+h_3)=\dfrac 12\cdot 125\cdot 624=39000.$$