题拍拍征解问题[9]（已解决）

『3293543』设 $p_1,p_2,\cdots,p_t$ 是小于 $2^{100}$ 的素数从小到大的排列，求证： $$\dfrac 1{p_1}+\dfrac 1{p_2}+\cdots+\dfrac 1{p_t}<10.$$

解析    考虑当 $p_t\leqslant N$ 时，有 $$\left(\sum_{i=1}^{t}\dfrac{1}{p_i}\right)^m\leqslant m!\left(\sum_{i=1}^{N^m}\dfrac{1}{i}\right)<m!\cdot\left(\ln N^m-\ln 2\right),$$ 其中用到了质因数分解的唯一性．这样就有 $$\sum_{i=1}^{t}\dfrac{1}{p_i}<\left(m!\cdot\left(m\ln N-\ln 2\right)\right)^{\frac1{m}},$$ 当 $N=2^{100}$ 时，可以得到随 $m$ 变化的上界 $$\begin{array}{c|ccccc}\hline m&1&2&3&4&5\\ \hline \left(m!\cdot\left(m\ln N-\ln 2\right)\right)^{\frac1{m}}&68.62\cdots&16.60\cdots&10.75\cdots&9.02\cdots&8.38\cdots\\ \hline\end{array}$$ 因此原命题得证．