题拍拍征解问题[5]（已解决）

『2602355』三边长分别为 $a,b,c$ 的三角形的内切圆半径为 $r$，外接圆半径为 $R$．求证： $$\dfrac{R}r-\dfrac ab-\dfrac ba\geqslant 8\cdot \dfrac{(a-c)^2(b-c)^2}{a^2b^2}.$$

出题人 星光给出的解析．

利用三角形的内切圆代换，设 $a=y+z$，$b=z+x$，$c=x+y$，其中 $x,y,z>0$，则 $$\begin{split} \dfrac Rr-\dfrac ab-\dfrac ba&=\dfrac{(x+y)(y+z)(z+x)}{4xyz}-\dfrac{y+z}{z+x}-\dfrac{z+x}{y+z}-8\cdot \dfrac{(x-z)^2(y-z)^2}{(x+z)^2(y+z)^2}\\ &=\dfrac{\big((x+y)(xy-zx-yz+7z^2)-10xyz-2z^3\big)^2}{4z(x+y)(x+z)^2(y+z)^2}+\dfrac{(x-y)^2(y-z)^2(z-x)^2}{4xy(x+z)^2(y+z)^2}+\dfrac{z(x-y)^2\big(4(2xy-xz-yz)^2+(3xy-xz-yz)^2+z^2(10xy+2xz+2yz+z^2)\big)}{4xy(x+y)(x+z)^2(y+z)^2}\geqslant 0,\end{split}$$ 等号当 $x=y=z$ 即 $a=b=c$ 时以及 $$a=b=\left(2\pm \sqrt 2\right)c$$ 时取得，因此原不等式得证，且右侧 $8$ 为最佳系数．