设数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，$ a_1=1$，且 $2 S_n=a_{n+1}-1$（$n \in \mathbb{N}^{\ast}$）．若对任意的正整数 $n$，都有 $a_1 b_n+a_2 b_{n-1}+a_3 b_{n-2}+\cdots+a_n b_1=3^n-n-1$ 成立，则满足等式 $b_1+b_2+b_3+\cdots+b_n=a_n$ 的正整数 $n$ 的可能取值个数为（ ）
A．$1$
B．$2$
C．$3 $
D．$4 $
已知椭圆 $C:~\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}4=1$ 上一点 $P\left(2,\dfrac{2\sqrt 5}3\right)$，过点 $P$ 作圆 $O:~x^2+y^2=r^2$（$0<r<2$）的两条切线，分别交椭圆 $C$ 于与 $P$ 不同的点 $A,B$，若直线 $AB$ 也与圆 $O$ 相切，则 $r=$_______．
已知 $P(x_0,y_0)$ 是椭圆 $C:~\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）上一点，过 $P$ 作圆 $O:~x^2+y^2=r^2$（$0<r<b$）的两条切线分别交椭圆于与 $P$ 不同的点 $A,B$．
1、若 $AB$ 与圆 $O$ 相切，证明：当 $P$ 点在椭圆 $C$ 上运动时，$AB$ 与圆 $O$ 始终相切．
2、我们称第 $(1)$ 小题中的圆 $O$ 对椭圆 $C$ 具有闭合性质，求对椭圆具有闭合性质的圆的半径 $r$（用 $a,b$ 表示）．
3、与第 $(2)$ 小题类似，若曲线 $C':\dfrac{x^2}{m^2}+\dfrac{y^2}{n^2}=1$（$m,n>0$）对曲线 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>m$，$b>n$）具有闭合性质，则 $\dfrac ma+\dfrac nb=1$．
已知函数 $f(x)={\rm e}^x\cdot\sin (rx)$（$r\in\mathbb N^{\ast}$）．
1、若 $r=1$，求函数 $f(x)$ 的单调区间．
2、证明：对于任意的正实数 $M$，总存在大于 $M$ 的实数 $a,b$，使得当 $x\in[a,b]$ 时，$|f(x)|\leqslant 1$．
1定义：对于定义在区间 $I$ 上的函数 $f(x)$ 和正数 $\alpha$（$0<\alpha \leqslant 1$），若存在正数 $M$，使得不等式 $\left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right| \leqslant M\left|x_{1}-x_{2}\right|^{\alpha}$ 对任意 $x_{1}, x_{2} \in I$ 恒成立，则称函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上满足 $\alpha$ 阶李普希兹条件，则下列说法正确的有（ ）
A．函数 $f(x)=\sqrt{x}$ 在 $[1,+\infty)$ 上满足 $\dfrac{1}{2}$ 阶李普希兹条件
B．若函数 $f(x)=x \ln x$ 在 $[1, \mathrm{e}]$ 上满足一阶李普希兹条件，则 $M$ 的最小值为 $2$
C．若函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上满足 $M=k$（$0<k<1$）的一阶李普希兹条件，且方程 $f(x)=x$ 在区间 $[a, b]$ 上有解 $x_{0}$，则 $x_{0}$ 是方程 $f(x)=x$ 在区间 $[a, b]$ 上的唯一解
D．若函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上满足 $M=1$ 的一阶李普希兹条件，且 $f(0)=f(1)$，则存在满足条件的函数 $f(x)$，存在 $x_{1}, x_{2} \in[0,1]$，使得 $\left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right|=\dfrac{2}{3}$
已知函数 $f(x)=a \cdot \mathrm{e}^{2x+1}-2 \mathrm{e}^{x+1}+\dfrac{a}{2} \cdot \mathrm{e}^{x}-\dfrac{x}{2}$．
1、当 $a=1$ 时，求 $f(x)$ 的极小值．
2、若 $f(x)$ 有两个零点，求实数 $a$ 的取值范围．
已知双曲线 $\Gamma: x^{2}-\dfrac{y^{2}}{3}=1$，$F$ 为双曲线 $\Gamma$ 的右焦点，过 $F$ 作直线 $l_{1}$ 交双曲线 $\Gamma$ 于 $A, B$ 两点，过 $F$ 点且与直线 $l_{1}$ 垂直的直线 $l_{2}$ 交直线 $x=\dfrac{1}{2}$ 于 $P$ 点，直线 $O P$ 交双曲线 $\Gamma$ 于 $M, N$ 两点．
1、若直线 $O P$ 的斜率为 $\dfrac{3}{2}$，求 $|A B|$ 的值．
2、设直线 $A B, A P, A M, A N$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}, k_{3}, k_{4}$，且 $k_{1} k_{2} k_{3} k_{4} \neq 0$，$ k_{1}+k_{2} \neq 0$，记 $k_{1}+k_{2}=u$，$ k_{1} k_{2}=v$，$ k_{3}+k_{4}=w$，试探究 $v$ 与 $u, w$ 满足的方程关系，并将 $v$ 用 $w, u$ 表示出来．
设 $a, b, c$ 为实数，函数 $f(x)=a \cos x+b \cos 2 x+c \cos 3 x$．
1、当 $b=1$，$c=0$ 时，求函数 $f(x)$ 的最小值．
2、若 $f(x) \geqslant-1$ 恒成立，求 $a+b+c$ 的最大值及对应的所有数组 $(a, b, c)$．
已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^x-\dfrac{x^2}{2}$，曲线 $y=f(x)$ 在点 $P\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$（$x_0>0$）处的切线为 $l$．
1、证明：$l$ 与曲线 $y=f(x)$ 有一个异于点 $P$ 的交点 $\left(x_1, f\left(x_1\right)\right)$，且 $x_1<0$．
2、在第 $(1)$ 小题的条件下，求 $\dfrac{x_0}{x_1}$ 的取值范围．
已知锐角 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$，若 $a=\sqrt{3}$，$b^{2}+c^{2}-b c=3$，则 $\triangle A B C$ 面积的取值范围是（ ）
A．$\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{3 \sqrt{3}}{4}\right]$
B．$\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{3 \sqrt{3}}{4}\right)$
C．$\left(\dfrac{\sqrt{3}}{4}, \dfrac{3 \sqrt{3}}{4}\right)$
D．$\left(\dfrac{\sqrt{3}}{4}, \dfrac{3 \sqrt{3}}{4}\right]$
