已知函数 $f(x)=(x-2) {\rm e}^x-\dfrac{a}{2} x^2+a x$（$a \in \mathbb R$）．
1、讨论函数 $f(x)$ 的单调性．
2、若不等式 $f(x)+(x+1) {\rm e}^x+\dfrac{a}{2} x^2-2 a x+a>0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．
已知函数 $f(x)=a(x-1)-2 \ln x$，$g(x)=x {\rm e}^{1-x}$（$a \in\mathbb R$，${\rm e}$ 为自然对数的底数）．
1、求函数 $f(x)$ 的单调区间．
2、对任意的 $x \in\left(0, \dfrac{1}{2}\right)$，$f(x)>0$ 恒成立，求 $a$ 的最大值．
3、若对任意给定的 $x_0 \in(0, {\rm e}]$，在 $(0, {\rm e}]$ 上总存在两个不同的 $x_i$（$i=1,2$），使得 $f\left(x_i\right)=g\left(x_0\right)$ 成立，求 $a$ 的取值范围．
已知函数 $f(x)=x(a+\ln x)$ 有极小值 $-{\rm e}^{-2}$．
1、求实数 $a$ 的值．
2、若 $k \in\mathbb Z$，且 $k(x-1)<f(x)$ 对任意 $x>1$ 恒成立，求 $k$ 的最大值．
已知函数 $f(x)=\dfrac{m+\ln x}{x}$，$m \in \mathbb R$，$ x>1$．
1、讨论 $f(x)$ 的单调区间．
2、若 $m=4$，$k \in\mathbb N^{\ast}$，且 $\dfrac{k}{x+1}<f(x)$ 恒成立，求 $k$ 的最大值．
求证：当 $a>{\rm e}^{\frac 1{\rm e}}$ 时，函数 $f(x)=a^x$ 和函数 $g(x)={\log_a}x$ 的图象存在公切线．
在直角三角形 $ABC$ 中，$AB=1$，$BC=2$，$D$ 为斜边 $AC$ 上一动点，将 $\triangle ABD$ 沿 $BD$ 翻折到 $\triangle A_1BD$，使得二面角 $A-BD-A_1$ 为 $\dfrac{\pi}3$，则 $A_1C$ 的最小值是_______．
在三棱锥 $O-ABC$ 中，$OA,OB,OC$ 两两垂直且相等，$P$ 是线段 $OA$ 上的动点，$Q$ 是平面 $BOC$ 上的动点，且满足 $OP=BQ\leqslant \dfrac 13OA$．设 $PQ$ 与 $OB$ 所成角为 $\theta$，则 $\cos\theta$ 的最小值为_______．
已知椭圆 $E:\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$ 的左、右焦点分别是 $F_1,F_2$，$P$ 是椭圆 $E$ 上一动点，且直线 $PF_1,PF_2$ 分别交椭圆 $E$ 于不同于点 $P$ 的点 $Q,R$．
1、当 $P$ 位于椭圆 $E$ 的上顶点时，求 $\triangle PQR$ 的面积．
2、求证：当 $\triangle PQR$ 的面积最大时，$P$ 位于椭圆 $E$ 的上顶点或下顶点．
设 $a=\dfrac{1}{2022}$，$b=\tan\dfrac{1}{2023}\cdot {\rm e}^{\frac{1}{2022}}$，$c=\sin\dfrac{1}{2023}\cdot {\rm e}^{\frac{1}{2023}}$，则（ ）
A．$c<b<a$
B．$c<a<b$
C．$a<c<b$
D．$a<b<c$
已知函数 $f(x)=\ln x$，$ h(x)=a x$（$a \in \mathbb R$）．
1、函数 $f(x)$ 的图象与 $h(x)$ 的图象无公共点，求实数 $a$ 的取值范围．
2、是否存在实数 $m$，使得对任意的 $x \in\left(\dfrac{1}{2},+\infty\right)$，都有函数 $y=f(x)+\dfrac{m}{x}$ 的图象在 $g(x)=\dfrac{{\rm e}^x}{x}$ 的图象的下方？若存在，请求出整数 $m$ 的最大值；若不存在，请说明理由． （参考数据：$\ln 2=0.6931\cdots$，$\ln 3=1.0986\cdots$，$\sqrt {\rm e}=1.6487\cdots$，$\sqrt[3]{\rm e}=1.3956\cdots$）
