每日一题[2930]指数放缩

设 $a=\dfrac{1}{2022}$,$b=\tan\dfrac{1}{2023}\cdot {\rm e}^{\frac{1}{2022}}$,$c=\sin\dfrac{1}{2023}\cdot {\rm e}^{\frac{1}{2023}}$,则(       )

A.$c<b<a$

B.$c<a<b$

C.$a<c<b$

D.$a<b<c$

答案    B.

解析    设 $\dfrac{1}{2022}=x$,则 $\dfrac{1}{2023}=\dfrac x{x+1}$,从而\[a=x,\quad b=\tan \dfrac{x}{x+1}\cdot {\rm e}^x,\quad c=\sin\dfrac{x}{x+1}\cdot {\rm e}^{\frac x{x+1}},\]有\[c<\dfrac x{x+1}\cdot \dfrac{1}{1-\dfrac x{x+1}}=x=\dfrac x{x+1}\cdot (1+x)<b,\]其中用到了当 $x\in(0,1)$ 时,有\[\sin x<x<<\tan x,\quad 1+x<{\rm e}^x<\dfrac{1}{1-x}.\]

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