已知函数 $f(x)=x^3-\dfrac 12\sin x$，若 $\theta\in\left(0,\dfrac{\pi}{12}\right)$，$a=f\left((\cos\theta)^{\sin\theta}\right)$，$b=f\left((\sin\theta)^{\sin\theta}\right)$，$c=-f\left(-\dfrac 12\right)$，则 $a,b,c$ 的大小关系是（ ）
A．$a>b>c$
B．$b>a>c$
C．$a>c>b$
D．$c>a>b$
已知函数 $f(x)=a {\rm e}^{x}+b$（$a, b \in \mathbb{R}$），且 $f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程为 $y=x$．
1、求 $f(x)$ 的解析式．
2、证明：当 $x>0$ 时，有 $f(x) \ln x+\dfrac{3}{x}>\dfrac{5}{2}$ 成立．
已知抛物线 $C$ 的顶点为坐标原点 $O$，焦点 $F$ 在 $x$ 轴上，过点 $(2,0)$ 的直线交 $C$ 于 $P,Q$ 两点，且 $O P \perp O Q$，线段 $P Q$ 的中点为 $M$，则直线 $M F$ 的斜率的最大值为（ ）
A．$\dfrac{\sqrt{6}}{6}$
B．$\dfrac{1}{2}$
C．$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
D．$1$
$\triangle ABC$ 中，$AB=c$，$AC=b$，边 $AB,AC$ 上的中线长分别为 $u,v$，则 $\dfrac{b+2u}{c+2v}$ 的取值范围是（ ）
A．$\left(\dfrac13,3\right)$
B．$\left(\dfrac14,4\right)$
C．$\left(\dfrac 15,5\right)$
D．以上答案都不对
已知函数 $f(x)=\ln x+x^2-k x+1$ $(k \in \mathbb{R}$），$g(x)=x^2-3 x+x {\rm e}^x$．
1、求函数 $f(x)$ 的单调区间．
2、若不等式 $f(x) \leqslant g(x)$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围．
已知函数 $f(x)=a x^2-{\rm e}^{x-1}$．
1、当 $a=\dfrac{1}{2}$ 时，证明：$f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上为减函数．
2、当 $x \in\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]$ 时，$f(x) \leqslant a \cos x$，求实数 $a$ 的取值范围．
已知函数 $f(x)=\ln x+\dfrac{a-x^2}{2 x}$．
1、讨论函数 $f(x)$ 的单调性．
2、若关于 $x$ 的方程 $f(x)=a$ 有两个实数解，求 $a$ 的最大整数值．
已知 $\boldsymbol a,\boldsymbol b,\boldsymbol c$ 是平面内的 $3$ 个单位向量，且 $\boldsymbol a\perp \boldsymbol b$，则 $|\boldsymbol a+2\boldsymbol c|+|3\boldsymbol a+2\boldsymbol b-\boldsymbol c|$ 的最小值为_______．
已知锐角 $\triangle ABC$ 中，$AB=1$，$AC=2$，$O$ 为 $\triangle ABC$ 外接圆圆心，点 $P$ 在圆 $O$ 上运动，则 $\overrightarrow{BP}\cdot \overrightarrow{AO}$ 的取值范围是（ ）
A．$\left[-\dfrac 12,4\right)$
B．$[0,2)$
C．$\left[-\dfrac 12,2\right)$
D．$[0,4)$
已知函数 $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}-a x$．
1、若 $f(x) \leqslant-1$，求实数 $a$ 的取值范围．
2、若 $f(x)$ 有 $2$ 个不同的零点 $x_1, x_2$（$x_1<x_2$），求证：$2 x_1^2+3 x_2^2>\dfrac{12}{5 a}$．
