每日一题[2972]三叉戟

已知函数 $f(x)=\ln x+\dfrac{a-x^2}{2 x}$.

1、讨论函数 $f(x)$ 的单调性.

2、若关于 $x$ 的方程 $f(x)=a$ 有两个实数解,求 $a$ 的最大整数值.

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数为\[f'(x)=\dfrac{-x^2+2x-a}{2x^2},\]于是讨论分界点为 $a=0,1$.

情形一      $a\leqslant 0$.此时函数 $f(x)$ 在 $\left(0,1+\sqrt{1-a}\right)$ 上单调递增,在 $\left(1+\sqrt{1-a},+\infty\right)$ 上单调递减.

情形二     $0<a<1$.此时函数 $f(x)$ 在 $\left(0,1-\sqrt{1-a}\right)$ 上单调递减,在 $\left(1-\sqrt{1-a},1+\sqrt{1-a}\right)$ 上单调递增,在 $\left(1+\sqrt{1-a},+\infty\right)$ 上单调递减.

情形三     $a\geqslant 1$.此时函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递减.

2、方程 $f(x)=a$ 即\[\ln x+\dfrac{a-x^2}{2x}=a\iff a=\dfrac{\ln x-\dfrac x2}{1-\dfrac{1}{2x}}\iff a=\dfrac{2x\ln x-x^2}{2x-1},\]设方程右侧为函数 $g(x)$,则\[g'(x)=\dfrac{-2(x^2-3x+1+\ln x)}{(2x-1)^2},\]设 $h(x)=x^2-3x+1+\ln x$,则其导函数\[h'(x)=2x-3+\dfrac 1x,\]因此当 $x\in(0,1)$ 时,有 $h(x)<0$;当 $x\in(1,+\infty)$ 时,有 $h(x)$ 单调递增,而 $h(1)=-1$,因此函数 $g(x)$ 在 $x\in\left(0,\dfrac 12\right)$ 上单调递增,在 $x\in\left(\dfrac 12,+\infty\right)$ 上先递增后递减.设 $h(x)$ 的零点为 $m$,$M=g(m)$,则\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c}\hline x&0^+&\left(0,\dfrac 12\right)&\left(\dfrac 12\right)^-&\left(\dfrac 12\right)^+&\left(\dfrac 12,m\right)&m&\left(m,+\infty\right)&+\infty\\ \hline g(x)&0&\nearrow&+\infty&-\infty&\nearrow&M&\searrow&-\infty\\ \hline \end{array}\]注意到\[h(2)=\ln 2-1<0,\]于是 $m>2$,因此\[M>g(2)=\dfrac{4\ln 2-4}{3}=-1+\dfrac{4\ln 2-1}{3}>-1,\]又\[2x\ln x-x^2=x^2\left(\dfrac{2\ln x}{x}-1\right)\leqslant x^2\left(\dfrac2{\rm e}-1\right)<0,\]因此 $M\in (-1,0)$,从而 $a$ 的最大整数值为 $-1$.

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