已知 $a=\left(\dfrac{9}{8}\right)^{\frac{10}{9}}$，$b={\log _8 }9$，$ c={\log _9} 10$，则 $a, b, c$ 的大小关系为（ ）
A．$c>b>a$
B．$b>a>c$
C．$a>b>c$
D．$a>c>b$
已知函数 $f(x)=-\dfrac{\ln^2 x}{2}+x+\ln x-1$，$g(x)=(x-1) \mathrm{e}^x-\dfrac{a x^2}{2}+a^2$，$a<1$．
1、判断 $f(x)$ 的单调性．
2、若 $g(x)$ 有唯一零点，求实数 $a$ 的取值范围．
已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^x-\dfrac{1}{2} x^2-a x-1$（$a \in \mathbb{R}$）．
1、若不等式 $f(x) \geqslant 0$ 在 $x \in[0,+\infty)$ 上恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．
2、若 $x>0$，求证：$\left(\mathrm{e}^x-\dfrac{1}{2} x^2+1\right) \ln (x+1)>2 x$．
已知函数 $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}-a x$．
1、若 $f(x) \leqslant-1$，求实数 $a$ 的取值范围．
2、若 $f(x)$ 有 $2$ 个不同的零点 $x_1, x_2$（$x_1<x_2$），求证：$2 x_1^2+3 x_2^2>\dfrac{12}{5 a}$．
已知函数 $f(x)=\ln x+\dfrac{a-x^2}{2 x}$．
1、讨论函数 $f(x)$ 的单调性．
2、若关于 $x$ 的方程 $f(x)=a$ 有两个实数解，求 $a$ 的最大整数值．
已知函数 $f(x)=a x^2-{\rm e}^{x-1}$．
1、当 $a=\dfrac{1}{2}$ 时，证明：$f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上为减函数．
2、当 $x \in\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]$ 时，$f(x) \leqslant a \cos x$，求实数 $a$ 的取值范围．
已知函数 $f(x)=\ln x+x^2-k x+1$ $(k \in \mathbb{R}$），$g(x)=x^2-3 x+x {\rm e}^x$．
1、求函数 $f(x)$ 的单调区间．
2、若不等式 $f(x) \leqslant g(x)$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围．
已知函数 $f(x)=x^a \ln x-x$．
1、当 $a=1$ 时，讨论 $f(x)$ 的单调性．
2、当 $x \geqslant 1$ 时，$f(x) \leqslant-1$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．
3、设 $n \in \mathbb{N}^{\ast}$，证明 $: \ln (n+1)<1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots+\dfrac{1}{n}-\dfrac{n}{2(n+1)}$．
设函数 $f(x)=\ln x-\dfrac{k(x-1)}{x+1}$．
1、若 $f(x) \geqslant 0$ 对任意 $x \in[1,+\infty)$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围．
2、已知方程 $\dfrac{\ln x}{x}=\dfrac{1}{3 \mathrm{e}}$ 有两个实数解 $x_1, x_2$，求证：$x_1+x_2>6 \mathrm{e}$．
已知 $O$ 为坐标原点，点 $A(2,1)$ 在双曲线 $C: \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{a^2-1}=1$（$a>1$）上，直线 $l$ 交 $C$ 于 $P, Q$ 两点．
1、若直线 $l$ 过 $C$ 的右焦点，且斜率为 $ -1$，求 $\triangle P A Q$ 的面积．
2、若直线 $A P, A Q$ 与 $y$ 轴分别相交于 $M, N$ 两点，且 $\overrightarrow{O M}+\overrightarrow{O N}=\overrightarrow{0}$，证明：直线 $l$ 过定点．
