Math173

设函数 $f(x)=\mathrm{e}^x-\dfrac{1}{2} a x^2-x$．

1、若函数 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增，求 $a$ 的值．

2、当 $a>1$ 时，

① 证明：函数 $f(x)$ 有两个极值点 $x_1,x_2$（$x_1<x_2$），且 $x_2-x_1$ 随 着 $a$ 的增大而增大；

② 在 ① 的结论下，证明：$f\left(x_2\right)<1+\dfrac{\sin x_2-x_2}{2}$．

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对任意正实数 $a,b,c$，及任意正实数 $r>1$，求证： $$ \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \leqslant \frac{a^r}{b^r+c^r}+\frac{b^r}{c^r+a^r}+\frac{c^r}{a^r+b^r} . $$

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已知正整数数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足：对任意的正整数 $m,k$，都有 $a_{m^2}=a_m^2$，且 $a_{m^2+k^2}=a_m a_k$，求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式．

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如图所示，$A B C D$ 是一个矩形，$A B=8$，$B C=4$，$M,N$ 分别 是 $A B,C D$ 的中点，以某动直线 $l$ 为折痕将矩形在其下方的部分翻折，使得每次翻折后点 $M$ 都落在边 $C D$ 上，记为 $M^{\prime}$．过 $M^{\prime}$ 作 $M^{\prime} P$ 垂直于 $C D$ 交直线 $l$ 于点 $P$．设点 $P$ 的轨迹是曲线 $E$．

1、建立恰当的直角坐标系，求曲线 $E$ 的方程．

2、$F$ 是 $M N$ 上一点，$\overrightarrow{F N}=-3 \overrightarrow{F M}$，过点 $F$ 的直线交曲线 $E$ 于 $S,T$ 两点，且 $\overrightarrow{S F}=\lambda \overrightarrow{F T}$，求实数 $\lambda$ 的取值范围．

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$\triangle A B C$ 的三边长 $a,b,c$ 满足：$a^2+b^2+3 c^2=7$，则 $\triangle A B C$ 的面积的最大值为_______．

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已知函数 $f:\{1,2, \cdots, 10\} \to\{1,2,3,4,5\}$，且对一切 $k=1,2, \cdots,9$，有 $|f(k+1)-f(k)| \geqslant 3$，则符合条件的函数 $f$ 的个数为_______．

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已知实数 $x,y$ 满足 $x|x|+\dfrac{y|y|}{3}=1$，则 $|\sqrt{3} x+y-4|$ 的取值范围是_______．

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已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足：$a_1=1$，$a_2=2$，$a_{2 k+1}=\dfrac{a_{2 k}^2}{a_{2 k-1}}$，且 $a_{2 k+2}=2 a_{2 k+1}-a_{2 k}$（$k \in \mathbb{N}^{+}$），则 $a_{2022}$ 的末两位数字是_______．

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至少通过一个正方体的 $3$ 条棱中点的平面个数为_______．

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已知函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上严格单调递淢，对任意 $x \in(0,+\infty)$，均有\[f(x) \cdot f\left(f(x)+\dfrac{2}{x}\right)=\dfrac{1}{3},\]记 $g(x)=f(x)+4 x^2$，则函数 $g(x)$ 的最小值是_______．

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