设点 $F$ 是双曲线 $\dfrac {x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}3=1$（$a>0$）的右焦点，过点 $F$ 的直线交双曲线 $C$ 的右支于点 $A,B$，分别交两条渐近线于点 $M,N$，点 $A,M$ 在第一象限，当 $l\perp x$ 轴时，$|AB|=6$．
1、求双曲线的标准方程．
2、若 $|AB|^2=60|AM|\cdot |AN|$，求直线 $l$ 的斜率．
若直线 $y=k_1x+b_1$ 与直线 $y=k_2x+b_2$（$k_1\ne k_2$）是曲线 $y=\ln x$ 的两条切线，也是曲线 $y={\rm e}^x$ 的两条切线，则 $k_1k_2+b_1+b_2$ 的值为（ ）
A．${\rm e}-1$
B．$0$
C．$-1$
D．$\dfrac{1}{\rm e}-1$
已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=-\dfrac 12$，$a_{n+1}=\ln(a_n+1)-\sin a_n$，则下列说法正确的有（ ）
A．$a_n>a_{n+1}$
B．$-\dfrac 12\leqslant a_n\leqslant -\dfrac 14$
C．$a_{n+1}>-\dfrac{a_n^2}{a_n+2}$
D．$a_n\geqslant -\dfrac{1}{2^n}$
已知 $f(x),g(x)$ 都是定义在 $\mathbb R$ 上的可导函数，且 $f(x+3)=g(-x)+4$，$f'(x)+g'(1+x)=0$，函数 $g(2x+1)$ 为偶函数，则下列说法正确的有（ ）
A．$g'(1)=0$
B．函数 $f(x)$ 的图象关于 $x=2$ 对称
C．函数 $f'(x)$ 的图象关于 $x=1$ 对称
D．$\displaystyle\sum_{k=1}^{2023}f'(k)g'(k)=1$
如图，以 $AI$ 为直径的半圆上有点 $B,D,F,H$，直线 $AI$ 上有点 $C,E,G$，满足 $\triangle ABC,\triangle CDE,\triangle EFG,\triangle GHI$ 是相似的等腰三角形，则 $\angle ABC=$_______．
已知 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的定义域均为 $\mathbb R$，且 $f(x-y)=f(x)g(y)-g(x)f(y)$，$f(-2)=f(1)\ne 0$，$g(-1)=g(2)$，则下列说法正确的有（ ）
A．$g(0)=1$
B．函数 $f(2x-1)$ 的图象关于点 $\left(\dfrac 12,0\right)$ 对称
C．$g(1)+g(-1)=1$
D．若 $f(1)=\dfrac{\sqrt 3}2$，则 $\displaystyle\sum_{k=1}^{2023}f(k)=\dfrac{\sqrt 3}2$
已知 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的定义域均为 $\mathbb R$，且满足\[\begin{cases} f(x+1)=-\dfrac 12f(x)+\dfrac{\sqrt 3}2g(x),\\ g(x+1)=-\dfrac 12g(x)-\dfrac{\sqrt 3}2f(x),\end{cases}\]且 $f(x)=f(5-x)$，$g(365)=-\sqrt 3$，则 $\displaystyle\sum_{k=1}^{2023}f(k)=$_______．
如图，半圆 $O$ 的直径 $AB=2$，$C$ 为圆弧上（不包含端点）的动点，点 $M,N$ 分别在以线段 $AC,BC$ 为直径的半圆弧上运动，则 $\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{OC}$ 的最大值为_______．
已知函数 $f(x)=\dfrac{\ln x}x+\dfrac 1x+x$ 的图象上有 $3$ 个点 $M,N,P$，横坐标分别为 $x_1,x_2,1$．
1、 求函数 $f(x)$ 在 $P$ 处的切线 $l$ 的方程．
2、若直线 $MN\parallel l$，求证：$2<\dfrac 1{x_1}+\dfrac{1}{x_2}<{\rm e}$．
已知函数 $f(x)={\rm e}^x-ax$ 有两个零点 $x_1,x_2$，求证：$\left|\ln\dfrac{x_1}{x_2}\right|<\sqrt{a^2-2a-1}\cdot x_1\cdot x_2$．
