每日一题[2995]奇偶交错

已知 $f(x),g(x)$ 都是定义在 $\mathbb R$ 上的可导函数,且 $f(x+3)=g(-x)+4$,$f'(x)+g'(1+x)=0$,函数 $g(2x+1)$ 为偶函数,则下列说法正确的有(       )

A.$g'(1)=0$

B.函数 $f(x)$ 的图象关于 $x=2$ 对称

C.函数 $f'(x)$ 的图象关于 $x=1$ 对称

D.$\displaystyle\sum_{k=1}^{2023}f'(k)g'(k)=1$

答案    ABC.

解析    由 $f(x+3)=g(-x)+4$ 可得\[f(x)=g(3-x)+4,\]从而\[f'(x)=-g'(3-x),\]因此\[g'(3-x)=g'(1+x),\]因此 $g'(x)$ 关于 $x=2$ 对称.而 $g(2x+1)$ 为偶函数,于是 $g(x)$ 关于 $x=1$ 对称,从而 $g'(1)=0$,函数 $f(x)$ 关于 $x=2$ 对称,函数 $f'(x)$ 关于 $x=1$ 对称,选项 $\boxed{A}$ $\boxed{B}$ $\boxed{C}$ 正确. 由于 $g'(x)$ 关于 $(1,0)$ 和 $x=2$ 对称,因此当 $k$ 为奇数时,$g'(k)=0$;当 $k$ 为偶数时,$f'(k)=0$,因此\[\sum_{k=1}^{2023}f'(k)g'(k)=0,\]选项 $\boxed{D}$ 错误. 综上所述,正确的选项为 $\boxed{A}$ $\boxed{B}$ $\boxed{C}$.

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