已知函数 $f(x)=\left|\dfrac{x-2}{x+2}-ax-b\right|$，若对任意实数 $a,b$，均存在 $x_0\in [-1,2]$，使得 $f(x_0)\geqslant m$ 成立，则实数 $m$ 的取值范围是（ ）
A．$\left(-\infty,\dfrac14\right]$
B．$\left(-\infty,\dfrac 12\right]$
C．$\left(-\infty,\dfrac 23\right]$
D．$(-\infty,1]$
已知直线 $y=a$ 与曲线 $y=\dfrac{x}{\mathrm{e}^x}$ 相交于 $A , B$ 两点，与曲线 $y=\dfrac{\ln x}{x}$ 相交于 $B , C$ 两点，$A , B , C$ 的横坐标分别为 $x_1, x_2 , x_3$，则（ ）
A．$x_2=a \mathrm{e}^{x_2}$
B．$x_2=\ln x_1$
C．$x_3=\mathrm{e}^{x_2}$
D．$x_1 x_3=x_2^2$
如图，$\triangle ABC$ 中，$\angle C=90^\circ$，$AC=1$，$BC=\sqrt 3$，$D$ 为 $AB$ 边上的中点，点 $M$ 在线段 $BD$（不含端点）上，将 $\triangle BCM$ 沿 $CM$ 向上折起至 $\triangle B'CM$，设平面 $B'CM$ 与平面 $ACM$ 所成二面角为 $\alpha$，直线 $MB'$ 与平面 $AMC$ 所成角为 $\beta$，直线 $MC$ 与平面 $B'CA$ 所成角为 $\gamma$，则在翻折过程中，正确的命题有（ ）
A．$\tan\beta\leqslant \dfrac{\sqrt 3}2\tan\alpha$
B．$\gamma \leqslant \beta$
C．$\gamma >\alpha$
D．以上答案都不正确
已知等边三角形 $ABC$，点 $E,F$ 分别是边 $AB,AC$ 上的动点，且满足 $EF\parallel BC$，将 $\triangle AEF$ 的顶点 $A$ 沿 $EF$ 翻折至 $P$ 点处．如图，记二面角 $P-EF-B$ 的平面角为 $\alpha$，二面角 $P-FC-B$ 的平面角 $\beta$，直线 $PF$ 与平面 $EFCB$ 所成角为 $\gamma$，则（ ）
A．$\alpha\geqslant \beta\geqslant \gamma$
B．$\alpha\geqslant \gamma \geqslant \beta$
C．$\beta\geqslant \alpha\geqslant \gamma$
D．$\beta\geqslant \gamma \geqslant \alpha$
如图，已知矩形 $ABCD$ 中，$AB=\sqrt 3$，$AD=1$，$AF\perp ABCD$ 且 $AF=3$，$E$ 为线段 $DC$ 上的点，连接 $FB,FC$．沿直线 $AE$ 将 $\triangle DAE$ 向上翻折成 $\triangle D'AE$，$M$ 为 $BD'$ 的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．三棱锥 $A-BCF$ 的体积为 $\dfrac{3\sqrt 3}2$
B．当点 $E$ 固定在线段 $DC$ 某位置时，$D'$ 在某个圆上运动
C．当点 $E$ 在线段 $DC$ 上运动时，$D'$ 在某个球面上运动
D．当点 $E$ 在线段 $DC$ 上运动时，三棱锥 $M-BCF$ 的体积的最小值为 $\dfrac{\sqrt 3}{12}$
已知 $a>0$，函数 $f(x)=(1-a x)\left(\mathrm{e}^x-1\right)$．
1、若 $a=1$，证明：当 $x>0$ 时，$f(x)<\ln (x+1)$．
2、若函数 $h(x)=\ln (x+1)-f(x)$ 存在极小值点 $x_0$，证明：$f\left(x_0\right) \geqslant 0$．
已知椭圆 $C: \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率为 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，以椭圆 $C$ 的短轴为直径的圆与直线 $y=a x+6$ 相切．
1、求椭圆 $C$ 的标准方程．
2、直线 $l: y=k(x-1)$（$k \neq 0$）与 $C$ 相交于 $A, B$ 两点，过 $C$ 上的点 $P$ 作 $x$ 轴的平行线交线段 $A B$ 于点 $Q$，直线 $O P$ 的斜率为 $k^{\prime}$（$O$ 为坐标原点），$\triangle A P Q$ 的面积为 $S_1$，$\triangle B P Q$ 的面积为 $S_2$，若 $|AP| \cdot S_2=|BP| \cdot S_1$，判断 $k \cdot k^{\prime}$ 是否为定值？并说明理由．
在棱长为 $1 $ 的正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中，点 $E, F$ 分别是棱 $B C, C C_1$ 的中点，$P$ 是侧面 $A D D_1 A_1$ 上的动点，且 $P C_1 \parallel A E F$，则点 $P$ 的轨迹长为_______，点 $P$ 到直线 $A F$ 的距离的最小值为_______．
平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是 $ 1675 $ 年卡西尼研究土星及其卫星的运行规律时发现的．已知平面直角坐标系 $x O y$ 中，$M(-2,0)$，$N(2,0)$，动点 $P$ 满足 $|P M| \cdot|P N|=5$，则下列结论正确的是（ ）
A．点 $P$ 的横坐标的取值范围是 $\left[-\sqrt{5}, \sqrt{5}\right]$
B．$|O P|$ 的取值范围是 $[1,3]$
C．$\triangle P M N$ 面积的最大值为 $\dfrac{5}{2}$
D．$|P M|+|P N|$ 的取值范围是 $\left[2 \sqrt{5}, 5\right]$
如图，在平面四边形 $ABCD$ 中，$AB=BD\cos\angle ABD$．
1、判断 $\triangle ABD$ 的形状并证明．
2、若 $AB=\sqrt 3AD$，$BC=2\sqrt 3CD=12$，求四边形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 的最大值．
