平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是 $ 1675 $ 年卡西尼研究土星及其卫星的运行规律时发现的．已知平面直角坐标系 $x O y$ 中，$M(-2,0)$，$N(2,0)$，动点 $P$ 满足 $|P M| \cdot|P N|=5$，则下列结论正确的是（ ）
A．点 $P$ 的横坐标的取值范围是 $\left[-\sqrt{5}, \sqrt{5}\right]$
B．$|O P|$ 的取值范围是 $[1,3]$
C．$\triangle P M N$ 面积的最大值为 $\dfrac{5}{2}$
D．$|P M|+|P N|$ 的取值范围是 $\left[2 \sqrt{5}, 5\right]$
答案 BC．
解析 设点 $P(x, y)$，根据题意，有\[|PM|\cdot |PN|=5\iff \left((x+2)^2+y^2\right)\left((x-2)^2+y^2\right)=25.\]
对于选项 $\boxed{A}$，有\[25=\left((x+2)^2+y^2\right)\left((x-2)^2+y^2\right)\geqslant(x+2)^2(x-2)^2=\left(x^2-4\right)^2,\]当且仅当 $y=0$ 时取等号，解不等式\[\left(x^2-4\right)^2 \leqslant 25\iff -3 \leqslant x \leqslant 3,\]即点 $P$ 的横坐标的取值范围是 $[-3,3]$，选项错误；
对于选项 $\boxed{B}$，有\[\left(\left(x^2+y^2+4\right)+4 x\right)\left(\left(x^2+y^2+4\right)-4 x\right)=25\implies x^2+y^2+4=\sqrt{25+16 x^2},\]显然 $0 \leqslant x^2 \leqslant 9$，因此\[|O P|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{\sqrt{25+16 x^2}-4} \in[1,3],\]选项正确；
对于选项 $\boxed{C}$，$\triangle P M N$ 的面积\[S=\frac{1}{2}\left|P M\left\|P N\left|\sin \angle M P N \leqslant \frac{1}{2}\right| P M\right\| P N\right|=\frac{5}{2},\]当且仅当 $\angle M P N=90^{\circ}$ 时取等号，当 $\angle M P N=90^{\circ}$ 时，点 $P$ 在以线段 $M N$ 为直径的圆 $x^2+y^2=4$ 上，而\[\begin{cases} x^2+y^2=4, \\ x^2+y^2+4=\sqrt{25+16 x^2},\end{cases}\iff \begin{cases} x= \pm \dfrac{\sqrt{39}}{4}, \\ y= \pm \dfrac{5}{4},\end{cases}\]所以 $\triangle P M N$ 面积的最大值为 $\dfrac{5}{2}$，选项正确；
对于选项 $\boxed{D}$，因为点 $(3,0)$ 在动点 $P$ 的轨迹上，当点 $P$ 为此点时，$|P M|+|P N|=5+1=6$，选项错误．
综上所述，正确的选项为 $\boxed{B}$ $\boxed{C}$．