$2008$ 年北京奥运会游泳中心（水立方）的设计灵感来于威尔 $\cdot$ 弗兰泡沬，威尔 $\cdot$ 弗兰泡沬是对开尔文胞体的改进，开尔文体是一种多面开尔文胞体体，它由正六边形和正方形围成（其中每一个顶点处有一个正方形和两个正六边形），已知该多面体共有 $24$ 个顶点，且棱长为 $ 1 $，则该多面体的表面积为_______．
数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分．如图，在勒洛四面体中，正四面体 $A B C D$ 的棱长为 $ 4$，则下列结论正确的是（ ）
A．若 $P, Q$ 是勒洛四面体 $A B C D$ 表面上的任意两点，则 $P Q$ 的最大值是 $ 4$
B．勒洛四面体 $A B C D$ 被平面 $A B C$ 截得的截面面积是 $8(\pi-\sqrt{3})$
C．勒洛四面体 $A B C D$ 的体积是 $8 \sqrt{6} \pi$
D．勒洛四面体 $A B C D$ 内切球的半径是 $4-\sqrt{6}$
在 $ {\rm Rt}\triangle A B C$ 中，$B=\dfrac{\pi}{2}$，$A C=2 B C=4$，$D$ 为线段 $A C$ 的中点，如图，将 $\triangle A B D$ 沿 $B D$ 翻折，得到三棱锥 $P-B C D$（点 $P$ 为点 $A$ 翻折到的位置），在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）
A．$\triangle P B D$ 的外接圆半径为 $2$
B．存在某一位置，使得 $P D \perp B D$
C．存在某一位置，使得 $P B \perp C D$
D．若 $P D \perp D C$，则此时三棱锥 $P-B C D$ 的外接球的体积为 $\dfrac{32}{3} \pi$
如图，在棱长为 $1$ 的长方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，$P$ 为侧面 $BCC_1B$（不含边界）内的动点，$Q$ 为线段 $A_1C$ 上的动点，若直线 $A_1P$ 与 $A_1B_1$ 的夹角为 $45^\circ$，则下列说法正确的是（ ）
A．线段 $A_1P$ 的长度为 $\sqrt 2$
B．$\dfrac{\sqrt 3}3A_1Q+PQ$ 的最小值为 $1$
C．对任意点 $P$ 总存在点 $Q$，使得 $D_1Q\perp CP$
D．存在点 $P$，使得直线 $A_1P$ 与平面 $ADD_1A_1$ 所成的角为 $60^\circ$
已知函数 $f(x)=m {\rm e}^x-x^2-x+2$．
1、若函数 $f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上单调递增，求 $m$ 的取值范围．
2、若 $m<0$，且 $f(x)$ 有两个零点 $x_1, x_2$，证明：$\left|x_1-x_2\right|<3+\dfrac{m}{3}$．
如图，长方形 $A B C D$ 中，$A B=\dfrac{\sqrt{15}}{2}$，$A D=1$，点 $E$ 在线段 $A B$（端点除外）上，现将 $\triangle A D E$ 沿 $D E$ 折起为 $\triangle KD E$．设 $\angle A D E=\alpha$，二面角 $K-D E-C$ 的大小为 $\beta$，若 $\alpha+\beta=\dfrac{\pi}{2}$，则四棱锥 $K-B C D E$ 体积的最大值为_______．
已知函数 $f(x)=\dfrac{a}{2} x^2-x-x \ln x$（$a \in \mathbb{R}$）．
1、若 $a=2$，求方程 $f(x)=0$ 的解．
2、若 $f(x)$ 有两个零点且有两个极值点，记两个极值点为 $x_1, x_2$，求 $a$ 的取值范围并证明： $$ f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)<\frac{1}{2 \mathrm{e}} . $$
已知抛物线 $H: x^2=2 p y$（$p$ 为常数，$p>0$），如图，$A, B, C$ 是 $H$ 上不同的三点，过三点的三条切线分别两两相交于点 $A', B', C'$，证明：$\dfrac{|A C'|}{|C'B'|}=\dfrac{|B'A'|}{|A'C|}=\dfrac{|C'B|}{|B A'|}$．
已知正实数 $0<a \leqslant \dfrac{1}{2} \leqslant b<1$，函数 $f(x)=a^x+b^{1-x}$（$x \in[0,1]$）．
1、若 $a+b=1$，证明：$f(x)$ 在 $[0, b]$ 上单调递减．
2、证明：对任意 $m, n \in \mathbb R^{\ast}$，$m+n=1$，有 $m^n+n^m \leqslant \sqrt{m}+\sqrt{n} \leqslant m^m+n^n$．
已知抛物线 $y^2=2 p x$（$p>0$）与双曲线 $y=-\dfrac{1}{x}$ 相交于点 $R$，抛物线与双曲线的公切线分别与拋物线、双曲线相切于点 $S, T$，求证：对于任意正实数 $p$，$\triangle R S T$ 的面积是与 $p$ 无关的常数．
