已知椭圆 $E$ 的方程为 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），$A$ 为 $E$ 的左顶点，$B$ 为 $E$ 的上顶点，$E$ 的离心率为 $\dfrac 1 2$，$\triangle ABO$ 的面积为 $\sqrt 3$．
1、求椭圆 $E$ 的方程；
2、过点 $P(-2,1)$ 的直线交 $E$ 于 $M, N$ 两点，点 $M$ 且垂直于 $x$ 轴的直线交直线 $AN$ 于点 $H$，证明：线段 $MN$ 的中点 $T$ 在定直线上．
若存在实数 $k$ 和周期函数 $h(x)$，使得 $f(x)=k x+h(x)$，则称 $f(x)$ 是好函数．
1、判断 $u(x)=\sin x$，$v(x)=x+x^2$ 是否是好函数，证明你的结论；
2、对任意实数 $x$，函数 $f(x), g(x)$ 满足 $g(f(x))=x$，$f(g(x))=x$，若 $f(x)$ 是好函数， ① 当 $f(x)=2 x$ 时，求 $g(x)$； ② 求证：$f(x)$ 不是周期函数； ③ 求证：$g(x)$ 是好函数．
已知当 $x \in\left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)$ 时，$x-\dfrac{x^3}{6}<\sin x<x$．
1、证明：当 $x \in\left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)$ 时，$\dfrac{\sin x}{x}>\dfrac{1}{2}$； 设 $f(x)=m \sin x$，
2、若区间 $[a, b]$ 满足当 $f(x)$ 定义域为 $[a, b]$ 时，值域也为 $[a, b]$，则称为 $f(x)$ 的和谐区间．
① 当 $m=1$ 时，$f(x)$ 是否存在和谐区间？若存在，求出所有和谐区间，若不存在，请说明理由；
② 当 $m=-2$ 时，$f(x)$ 是否存在和谐区间？若存在，求出所有和谐区间，若不存在，请说明理由．
如图：一张 $3 \times 3$ 的棋盘，横行编号 $1,2,3$；竖排编号 $a, b, c$，一颗棋子目前位于棋盘的 $c1$ 处，它的移动规则是：每次移动到与自身所在格不相邻的异色格中，例如该棋子第一次移动可以从 $(c, 1)$ 移动到 $(a, 2)$ 或 $(b, 3)$，棋子每次移动到不同目的地间的概率均为 $\dfrac{1}{2}$．
1、① 列举两次移动后，该棋子所有可能的位置；
② 假设棋子两次移动后，最终停留到第 $1,2,3$ 行时，分别能获得 $1,2,3$ 分，设得分为 $X$，求 $X$ 的分布列和数学期望；
2、现在于棋盘 $a3$ 处加入一颗棋子，它们运动规则相同，并且每次移动同时行动，求移动 $n$ 次后，两棋子位于同一格的概率．
已知椭圆 $C: \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率为 $\dfrac{1}{2}$，且经过点 $M(-2,0)$，$F_1, F_2$ 为椭圆 $C$ 的左、右焦点．$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$ 是椭圆上两点，直线 $AF_1,BF_2$ 相交于点 $Q(x_0,y_0)$．
1、求椭圆 $C$ 的标准方程；
2、① 若 $A F_2\parallel B F_1$，证明：$\dfrac{1}{y_1}+\dfrac{1}{y_2}=\dfrac{1}{y_0}$；
② 若 $\left|Q F_1\right|+\left|Q F_2\right|=3$，探究 $y_0, y_1, y_2$ 之间的关系．
在 $\triangle A B E$ 中，$B E=3$，$ \angle B A C=\angle E A D$，$\dfrac{B C \cdot B D}{D E \cdot E C}=\dfrac{1}{4}$，当 $\angle A E B$ 取最大值时，$\triangle A B E$ 的面积为_____．
已知平面向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ 对任意实数 $x, y$ 都有 $|\boldsymbol{a}-x \boldsymbol{b}| \geqslant|\boldsymbol{a}-\boldsymbol b|$，$|\boldsymbol{a}-y \boldsymbol{c}| \geqslant|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c}|$ 成立，若 $|\boldsymbol{a}|=2$，则 $\boldsymbol{b} \cdot(\boldsymbol{c}-\boldsymbol{a})$ 的取值范围是_____．
已知 $f(x)=a x^3+b x+c$（$x\in [0,1]$）满足 $f(x)\in [0,1]$，则 $b$ 的最大值是_____．
已知实数 $a, b, c, d$ 满足 $a \geqslant b \geqslant d>0$ 及 $a+b-3 c-3 d \leqslant 0$，则 $\dfrac{b d+a c}{a b}$ 的最小值为_____．
设 $\max \{a, b, c\}$ 为实数 $a, b, c$ 中的最大的数，若 $x,y,z>0$，则 $\max \left\{x z+\dfrac{1}{y}, x+\dfrac{1}{y z}, \dfrac{y}{x}+\dfrac{1}{z}\right\}$ 的最小值为_____．
