在如图斜方格阵中，一机器人从中心方格 $O$ 出发，每次运动可以跨越机器人所在方格的一条边（如第 $1$ 次运动，机器人可以运动到 $Q_1,Q_2,Q_3,Q_4$ 中的某个方格）．将机器人走出斜方格阵视为失败，反之视为成功，则运动 $2025$ 次后机器人成功的概率为_____．
一个四面体有 $5$ 条棱的棱长为 $2\sqrt 3$，且外接球的表面积为 $\dfrac{84}5\pi$，则不同于这 $5$ 条棱的棱的棱长为_____．
自元朝以来，穹顶便广泛应用于中国建筑中．作为＂北京十六景＂之一的地标性建筑，国家大剧院也采纳了穹顶设计．初步设计穹顶建模的步骤大致为：
步骤一 将半径为 $1$ 的圆 $O$（圆心为 $O$）沿直径 $PQ$ 分为两部分，得到半圆弧；
步骤二 保留其中一个半圆弧，将其 $n$（$n\geqslant 2$，$n\in\mathbb N^{\ast}$）等分，从端点 $P$ 出发依次连接各个等分点至另一个端点 $Q$，得到折线 $P-A_1-A_2-\cdots-A_{n-1}-Q$；
步骤三 将折线绕 $PQ$ 所在直线旋转，得到旋转体；
步骤四 不断调整 $n$ 值至合适，选取需要的旋转体部分并进行再调整． 设步骤三所得旋转体的表面积为 $S_n$，$\angle POA_k$ 的正弦值为 $T_k$（$k\leqslant n-1$，$k\in\mathbb N^{\ast}$），则（ ）
A．$0<\dfrac{S_{n+1}-S_n}{S_{n+1}+S_n}<5-2\sqrt 6$
B．$\dfrac{S_2}{S_3}=\dfrac{2\sqrt 2}3$
C．当 $n=180$ 时，$\dfrac{T_{29}}{T_{30}}>\dfrac{29}{30}$
D．$S_{99}>\dfrac{395}{99}\pi$
已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb R$，$f(x-1)=f(x)+f(x-2)$，且 $f(35)>f(25)$，$f(30)>f(10)$，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．$f(20)>100$
B．$f(20)<1000$
C．$f(30)>1000$
D．$f(30)<10000$
已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1$，直线 $l: m y=x+3 m-2$ 恒过定点 $P$，且与 $C$ 交于 $A,B$ 两点，$|PA|<|PB|$，则 $\dfrac{|PA|}{|PB|}$ 的取值范围为（ ）
A．$[1,2)$
B．$\left[\dfrac 1 3,\dfrac 1 2\right]$
C．$\left[\dfrac 1 2,\dfrac 4 5\right)$
D．$\left[\dfrac 1 3,1\right)$
已知函数 $f(x)=A\sin (\omega x+\varphi)+B$ 的定义域为 $\mathbb R$，且满足 $f(0)\leqslant f(x)\leqslant f(\pi)$ 恒成立，若 $f^{\prime}\left(\dfrac{\pi}2\right)<0$，则 $\omega$ 的值可能是（ ）
A．$6$
B．$7$
C．$8$
D．$9$
设集合 $M=\{x\mid x=2 n-1,n\in\mathbb Z\}$，若 $a,b,c\in M$，$d,e\in\mathbb R$，且 $3 d+e=\dfrac b a$，$d e=\dfrac c a$，则（ ）
A．$b^2<12 a c$
B．$\exists d\in\mathbb R,e=0$
C．$b\leqslant a c$
D．$\forall d\in\mathbb Z,e\notin\mathbb Z$
已知 $\tan\alpha\cdot\tan (\alpha+\beta)=1$，$\tan (3\alpha+2\beta)=m$，则 $\tan (\alpha+\beta)=$ （ ）
A．$-\dfrac 1 m$
B．$-m$
C．$m$
D．$3\sqrt 3 m^2$
已知拋物线 $C: y^2=2 p x$（$p>0$），过点 $P(2,1)$ 作斜率为 $k_1, k_2$ 的直线 $l_1, l_2$，分别交抛物线于 $A, B$ 与 $M, N$，当 $k_1=2$ 时，$P$ 为 $A B$ 的中点．
1、求抛物线 $C$ 的方程；
2、若 $|P M| \cdot|P N|=|P A| \cdot|P B|$，证明：$k_1+k_2=0$；
3、若直线 $A M$ 过点 $Q(-2,0)$，证明：直线 $B M$ 过定点，并求出该定点坐标．
对于非负整数非空集合 $S$，若对任意 $x, y \in S$，或者 $x+y \in S$，或者 $|x-y| \in S$，则称 $S$ 为一个好集合，记 $|S|$ 为集合 $S$ 的元素个数．
1、求所有的元素均小于 $ 3$ 的好集合；
2、求所有满足 $|S|=4$ 的好集合；
3、若好集合 $S$ 满足 $|S|$ 为奇数，求证：$S$ 中存在元素 $m$，使得 $S$ 中所有元素均为 $m$ 的整数倍．
