若对任意 $m, n \in \mathbb{R}$，关于 $x$ 的不等式 $m-n \leqslant(x-m)^{2}+\mathrm{e}^{x-n}-a$ 恒成立，则实数 $a$ 的最大值为_______．
在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知抛物线 $C_1:~ x^{2}=2 p y$ 的焦点与椭圆 $C_2:~ \dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{3}=1$ 的右焦点关于直线 $y=x$ 对称．
1、求 $C_1$ 的标准方程．
2、若直线 $l$ 与 $C_{1}$ 相切，且与 $C_{2}$ 相交于 $A, B$ 两点．求 $\triangle A O B$ 面积的最大值．
已知函数 $f(x)=\ln (x+1)-\dfrac{ax}{x+2}$．
1、若 $x\geqslant 0$ 时，$f(x)\geqslant 0$，求实数 $a$ 的取值范围．
2、试讨论 $f(x)$ 的零点个数．
设 $a=\ln 5-\ln 3$，$ b=\dfrac{2}{5} \mathrm{e}^{\frac{2}{3}}$，$c=\dfrac{2}{3}$，则（ ）
A．$b>c>a$
B．$a>b>c$
C．$a>c>b$
D．$c>a>b$
已知函数 $f(x)=x(x-3)^{2}$，若存在 $a<b<c$ 满足 $f(a)=f(b)=f(c)$，$g(x)=f(x)+m$，下列结论正确的是（ ）
A．若 $g(a)=g(b)=g(c)=0$，则 $m \in(-4,0)$
B．$a+b+c=9$
C．$a b c \in(0,4)$
D．$a+b\in (2,3)$
已知 $O$ 为坐标原点，椭圆 $C: \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$（$a>b>0$）的右焦点为 $F$，上顶点为 $B$，线段 $B F$ 的中垂线交 $C$ 于 $M,N$ 两点，交 $y$ 轴于点 $P$，$ \dfrac{|B P|}{|P O|}=2$，$\triangle B M N$ 的周长为 $16$，则椭圆的标准方程为_______．
已知双曲线 $C: \dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$（$a>0$，$b>0$）过 $P_{1}(2,0)$，$ P_{2}(0,4)$，$P_{3}(-2 \sqrt{10}, 3)$，$P_{4}(2 \sqrt{10},3)$ 四个点中的三个点．
1、求双曲线 $C$ 的方程．
2、若直线 $l$ 与双曲线 $C$ 交于 $A, B$ 两点，且 $P_{1} A \perp P_{1} B$，求证：直线 $l$ 经过一个不在双曲线 $C$ 上的定点，并求出该定点的坐标．
已知函数 $f(x)=(\ln x+1) x-m x^{2}+m$．
1、若 $f(x)$ 单调递减，求 $m$ 的取值范围．
2、若 $f^{\prime}(x)$ 的两个零点分别为 $a, b$，且 $2 a<b$，证明：$a b^{2}>\dfrac{32}{\mathrm{e}^{6}}$．
已知 $x^{\frac{1}{x^{2}}}-a=0$ 在 $x \in(0,+\infty)$ 上有两个不相等的实数解，则实数 $a$ 的取值范围是（ ）
A．$\left(0, \dfrac{1}{2 \mathrm{e}}\right]$
B．$\left(0, \dfrac{1}{2 \mathrm{e}}\right)$
C．$\left(1, {\rm e}^{\frac{1}{2 {\rm e}}}\right]$
D．$\left(1, \mathrm{e}^{\frac{1}{2 {\rm e}}}\right)$
已知函数 $f(x)=\ln \dfrac{x}{\mathrm{e}^2}+\dfrac{a}{x}$，$a \in \mathbb{R}$．
1、讨论 $f(x)$ 在 $[3,5]$ 上的单调性．
2、若 $a=1$，且 $m<n$，$f(m)=f(n)=0$，求证：$2 \mathrm{e}<m+n<\mathrm{e}^2$．
