已知 $O$ 为坐标原点，$A, B, C$ 为椭圆 $E: \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）上三点，且 $\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}=\overrightarrow{0}$，$\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{A C}=0$，直线 $B C$ 与 $x$ 轴交于点 $D$，若 $4 \overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O D}=\overrightarrow{O D}^2$，则 $E$ 的离心率 $e$ 为（ ）
A．$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
B．$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
C．$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
D．$\dfrac{2 \sqrt{5}}{5}$
满足 $\sin\left(\sqrt 2\right)+\sin\left(2\sqrt 2\right)+\cdots+\sin\left(n\sqrt 2\right)>2$ 的正整数 $n$ 个数为（ ）
A．$0$
B．$1$
C．无穷多个
D．前三个答案都不对
已知正实数构成的集合 $A=\left\{a_1, a_2, \cdots, a_n\right\}$（$n \geqslant 2$），定义 $$ A+A=\left\{a_i+a_j \mid a_i, a_j \in A, i \neq j\right\}. $$ 当集合 $A+A$ 中的元素恰有 $\dfrac{n(n-1)}{2}$ 个数时，称集合 $A$ 具有性质 $\Omega$．
1、判断集合 $A_1=\{1,2,4\}$，$A_2=\{1,2,4,5\}$ 是否具有性质 $\Omega$；
2、设集合 $B=\{1,3, p, q\}$（$p, q \in \mathbb N$，且 $3<p<q$）具有性质 $\Omega$，若 $B+B$ 中的所有元素能构成等差数列，求 $p, q$ 的值；
3、若集合 $A$ 具有性质 $\Omega$，且 $A+A$ 中所有元素能构成等差数列，问：集合 $A$ 中元素个数是否存在最大值？若存在，求出该最大值，若不存在，请说明理由．
已知 $a\in\mathbb R$，函数 $f(x)=\ln x+\dfrac{2}{x}-a(x+1)$（$x>0$）．
1、讨论 $f(x)$ 的单调性；
2、若 $x_1, x_2$（$x_1<x_2 $）是 $ f(x)$ 的两个极值点，证明：$ f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)<\sqrt{\dfrac{1}{2 a}-4}$．
已知函数 $f(x)=a \ln x-(x-1) \mathrm{e}^{b x}$（$a, b$ 是常数，$\mathrm e $ 是自然对数的底数）．
1、当 $a=1$，$b=0$ 时，求函数 $f(x)$ 的最大值；
2、当 $a>\mathrm e$，$b=1$ 时，
① 证明：函数 $f(x)$ 存在唯一的极值点 $\beta$；
② 若 $f(\alpha)=0$，且 $\alpha>\beta$，证明：$(\alpha-\beta)(2 \beta+1)<3\left(\beta^2-1\right)$．
已知关于 $x$ 的方程 $\sin (a\cos x)=\cos (b\sin x)$ 没有实数解，则 $a^2+b^2$ 的取值范围是_____．
函数 $f(x)=\dfrac{x+a}{x+1}$（$x>0$），曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线的截距为 $\dfrac{11}{2}$．
1、求 $a$；
2、讨论 $g(x)=x\cdot f^2(x)$ 的单调性；
3、设 $a_1=1$，$a_{n+1}=f\left(a_n\right)$（$n \in \mathbb N^{\ast}$），证明：$2^{n-2}\left|2 \ln a_n-\ln 7\right|<1$．
已知 $m>0$，函数 $f(x)=2 m \ln x-x+\dfrac{1}{x}$（$x>0$）．
1、讨论 $f(x)$ 的单调性；
2、已知 $n\in\mathbb N^{\ast}$ 且 $n\geqslant 2$，证明：\[\left(1+\frac{1}{2^2}\right)\left(1+\frac{1}{3^2}\right)\left(1+\frac{1}{4^2}\right) \cdots\left(1+\frac{1}{n^2}\right)<\mathrm{e}^{\frac{2}{3}};\]
3、若函数 $g(x)=m^2 \ln ^2 x-x-\dfrac{1}{x}+2$ 有 $3$ 个零点，求 $m$ 的取值范围．
已知定义在 $\mathbb R$ 上的奇函数 $f(x)$ 满足 $f(x)=1$，且对任意 $x<0$，均有 $f\left(\dfrac 1x\right)=xf\left(\dfrac 1{1-x}\right)$，$n$ 是不小于 $2$ 的正整数，则 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n-1}f\left(\dfrac 1k\right)f\left(\dfrac{1}{n-k}\right)=$ _____．
已知椭圆 $C: \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$，离心率为 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，设 $P\left(x_0, y_0\right)$ 是第一象限内椭圆 $C$ 上一点，$P F_1, P F_2$ 的延长线分别交椭圆 $C$ 于点 $A, B$，连接 $O P, A B, A F_2$，$\triangle A P F_2$ 的周长为 $4 \sqrt{2}$．
1、求椭圆 $C$ 的方程；
2、当 $P F_2 \perp x$ 轴时，求 $\triangle P A F_2$ 的面积；
3、分别记 $O P, A B$ 的斜率为 $k_1, k_2$，求证：$k_1k_2$ 为定值．
