Math173

已知 $A,B,C$ 三个杯子颜色是红、黄、蓝之一，装有牛奶、咖啡、果汁之一．给出以下信息：

① $A$ 杯子不是红色的，且 $B$ 杯子不是黄色的；

② $B$ 杯子装的不是咖啡；

③ 黄色杯子装的是牛奶；

④ 红色杯子装的不是果汁．

根据上述信息可以推断出（       ）

A．$A$ 杯子是蓝色的

B．$B$ 杯子装的是果汁

C．$C$ 杯子是红色的

D．红色杯子装的是咖啡

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已知曲线 $C$ 的方程为 $\left(x^2+y^2\right)^3=16 x^2 y^2$，则（       ）

A．曲线 $C$ 既是轴对称又是中心对称图形

B．曲线 $C$ 只经过原点 $(0,0)$ 这 $1$ 个整点

C．曲线 $C$ 上任意一点到原点的距离都不超过 $2$

D．曲线 $C$ 围成区域的面积大于 $4\pi$

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$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac 1 n\sin\dfrac{(2 k-1)\pi}{2 n}=$（       ）

A．$0$

B．$\dfrac 2{\pi}$

C．$2$

D．$2\pi$

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在复平面上，复数 $z_1$ 在连接 $1+\mathrm i$ 和 $1+a\mathrm i$（$a\in\mathbb R$）的线段上，复数 $z_2$ 在以原点为圆心半径为 $1$ 的圆上．若点 $z_1+z_2$ 的可能位置所组成的图形面积为 $4+\pi$，则 $a$ 可能为（       ）

A．$-1$

B．$1$

C．$3$

D．$5$

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设 $a,b,c$ 为不同的正整数，且 $\sqrt{a+b},\sqrt{a+c},\sqrt{b+c}$ 是 $3$ 个连续整数，则 $a^2+b^2+c^2$ 的最小值为（       ）

A．$1022$

B．$1297$

C．$2022$

D．$2097$

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已知 $a x+b y=2$，$ a x^2+b y^2=4$，$a x^3+b y^3=6$，$a x^4+b y^4=32$，则 $a x^5+b y^5=$ （       ）

A．$-182$

B．$-92$

C．$64$

D．$128$

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在四面体 $ABCD$ 中，$AB=CD=1$，$BC=2$，$AB\perp BC$，$CD\perp BC$，且直线 $AB,CD$ 所成的角为 $\dfrac{\pi}3$，则该四面体外接球的表面积可能是（       ）

A．$\dfrac{8\pi}3$

B．$\dfrac{16\pi}3$

C．$8\pi$

D．$16\pi$

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已知曲线 $C: y=\dfrac 1 4 x^2+4$，点 $P\left(x_0,y_0\right)$，$PA,PB$ 是 $C$ 的两条切线，$A,B$ 是切点，则（       ）

A．当 $x_0=y_0=1$ 时，直线 $AB$ 的方程为 $x-2 y+14=0$

B．当直线 $AB$ 的方程为 $y=9$ 时，$x_0=y_0=0$

C．当 $x_0^2+y_0^2=1$ 时，$\triangle PAB$ 面积的最小值为 $12\sqrt 3$

D．当 $x_0^2+y_0^2=1$ 时，$\triangle PAB$ 面积的最大值为 $20\sqrt 5$

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统计 $100$ 位同学回答某五道试题的得分情况，结果有 $81$ 人答对第一题，$91$ 人答对第二题，$85$ 人答对第三题，$79$ 人答对第四题，$74$ 人答对第五题．在这 $100$ 位同学中，答对三道或三道以上的同学至少有（       ）

A．$70$ 人

B．$71$ 人

C．$74$ 人

D．$80$ 人

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已知圆周上有 $10$ 个不同的点 $A_1,A_2,\cdots,A_{10}$，将这 $10$ 个点两两相连得到由线段组成的集合\[M=\left\{A_i A_j\mid i,j=1,2,\cdots,10,i\neq j\right\}.\]若从 $M$ 中任取两条不同的线段，则这两条线段没有公共点的概率是（       ）

A．$\dfrac{14}{33}$

B．$\dfrac{14}{45}$

C．$\dfrac 7{33}$

D．$\dfrac 7{45}$

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