已知函数 $f(x)=a \cdot \mathrm{e}^{2x+1}-2 \mathrm{e}^{x+1}+\dfrac{a}{2} \cdot \mathrm{e}^{x}-\dfrac{x}{2}$．
1、当 $a=1$ 时，求 $f(x)$ 的极小值．
2、若 $f(x)$ 有两个零点，求实数 $a$ 的取值范围．
已知双曲线 $\Gamma: x^{2}-\dfrac{y^{2}}{3}=1$，$F$ 为双曲线 $\Gamma$ 的右焦点，过 $F$ 作直线 $l_{1}$ 交双曲线 $\Gamma$ 于 $A, B$ 两点，过 $F$ 点且与直线 $l_{1}$ 垂直的直线 $l_{2}$ 交直线 $x=\dfrac{1}{2}$ 于 $P$ 点，直线 $O P$ 交双曲线 $\Gamma$ 于 $M, N$ 两点．
1、若直线 $O P$ 的斜率为 $\dfrac{3}{2}$，求 $|A B|$ 的值．
2、设直线 $A B, A P, A M, A N$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}, k_{3}, k_{4}$，且 $k_{1} k_{2} k_{3} k_{4} \neq 0$，$ k_{1}+k_{2} \neq 0$，记 $k_{1}+k_{2}=u$，$ k_{1} k_{2}=v$，$ k_{3}+k_{4}=w$，试探究 $v$ 与 $u, w$ 满足的方程关系，并将 $v$ 用 $w, u$ 表示出来．
设 $a, b, c$ 为实数，函数 $f(x)=a \cos x+b \cos 2 x+c \cos 3 x$．
1、当 $b=1$，$c=0$ 时，求函数 $f(x)$ 的最小值．
2、若 $f(x) \geqslant-1$ 恒成立，求 $a+b+c$ 的最大值及对应的所有数组 $(a, b, c)$．
已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^x-\dfrac{x^2}{2}$，曲线 $y=f(x)$ 在点 $P\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$（$x_0>0$）处的切线为 $l$．
1、证明：$l$ 与曲线 $y=f(x)$ 有一个异于点 $P$ 的交点 $\left(x_1, f\left(x_1\right)\right)$，且 $x_1<0$．
2、在第 $(1)$ 小题的条件下，求 $\dfrac{x_0}{x_1}$ 的取值范围．
已知锐角 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$，若 $a=\sqrt{3}$，$b^{2}+c^{2}-b c=3$，则 $\triangle A B C$ 面积的取值范围是（ ）
A．$\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{3 \sqrt{3}}{4}\right]$
B．$\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{3 \sqrt{3}}{4}\right)$
C．$\left(\dfrac{\sqrt{3}}{4}, \dfrac{3 \sqrt{3}}{4}\right)$
D．$\left(\dfrac{\sqrt{3}}{4}, \dfrac{3 \sqrt{3}}{4}\right]$
已知曲线 $C: \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 与直线 $l: x-y-1=0$ 交于 $A, B$ 两点，记直线 $l$ 与 $x$ 轴的交点 $E$，点 $E, F$ 关于原点对称，若 $\angle A F B=90^{\circ}$，则（ ）
A．$2 a^{2}+b^{2}=a^{2} b^{2}$
B．曲线 $C$ 过 $ 4$ 个定点
C．存在实数 $a$，使得 $|A B|=3$
D．$|A B|<\dfrac{7}{2}$
已知椭圆 $E: \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$，$P$ 为椭圆上不与顶点重合的任意一点，$I$ 为 $\triangle P F_1 F_2$ 的内心，记直线 $O P, O I$ 的斜率分别为 $k_1, k_2$，若 $k_1=\dfrac{3}{2} k_2$，则椭圆 $E$ 的离心率为（ ）
A．$\dfrac{1}{3}$
B．$\dfrac{1}{2}$
C．$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
D．$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
数列 $\left\{a_n\right\}$ 前 $n$ 项和为 $S_n$，若 $a_{n+2}+(-1)^n a_n=2 n$，且 $S_8=68$，则以下结论正确的有（ ）
A．$a_1=4$
B．数列 $\left\{a_{2 n-1}\right\}$（$n \in \mathbb N^{\ast}$）为递增数列
C．数列 $\left\{a_{4 n}\right\}$（$n \in \mathbb N^{\ast}$）为等差数列
D．$\dfrac{a_{2 n+2}+a_{2 n}}{a_{2 n+1}}$（$n \in\mathbb N^{\ast}$）的最大值为 $\dfrac{4}{7}$
已知 $f(x)=\sin (\omega x+\varphi)$（$\omega>0$）满足 $f\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=1$，$f\left(\dfrac{5 \pi}{3}\right)=0$ 且 $f(x)$ 在 $\left(\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{5 \pi}{6}\right)$ 上单调，则 $\omega$ 的最大值为（ ）
A．$\dfrac{12}{7}$
B．$\dfrac{18}{17}$
C．$\dfrac{6}{17}$
D．$\dfrac{30}{17}$
已知函数 $f(x)=a x {\rm e}^x-a x+a-{\rm e}^x$（$a>0$），若有且仅有两个整数 $x_i$（$i=1,2$），满足 $f\left(x_i\right)<0$，则实数 $a$ 的取值范围为_______．
