已知函数 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的可导函数，其导函数为 $f^{\prime}(x)$．若对任意 $x \in \mathbb{R}$ 有 $f^{\prime}(x)>1$，$f(1+x)+f(1-x)=0$，且 $f(0)=-2$，则不等式 $f(x-1)>x-1$ 的解集为（ ）
A．$(0,+\infty)$
B．$(1,+\infty)$
C．$(2,+\infty)$
D．$(3,+\infty)$
已知 $\triangle A B C$ 满足 $A B=A C=1$，$\triangle A B C$ 所在平面内一动点 $P$ 满足 $\overrightarrow{A P}=\lambda \overrightarrow{A B}+2 \mu \overrightarrow{A C}$（$\lambda, \mu \in \mathbb{R}$），且 $|A P|=1$，若 $\lambda+\mu \leqslant \dfrac{2 \sqrt{10}}{5}$ 恒成立，则 $\cos A$ 的最小值为（ ）
A．$-\dfrac{1}{4}$
B．$-\dfrac{1}{3}$
C．$-\dfrac{1}{2}$
D．$0$
如图给出下列一个由正整数组成的三角形数阵，该三角形数阵的两腰分别是一个公差为 $1 $ 的等差数列和 一个公差为 $2$ 的等差数列，每一行是一个公差为 $1 $ 的等差数列．我们把这个数阵的所有数从上到下，从左到右依次构成一个数列 $\left\{a_{n}\right\}: 1,2,3,3,4,5,4,5,6,7,\cdots$，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$，则下列说法正确的有（ ） \[\begin{array}{ccccccccccc} &&&&&1&&&&&\\ &&&&2&&3&&&&\\ &&&3&&4&&5&&&\\ &&4&&5&&6&&7&&\\ &\cdots&&\cdots&&\cdots&&\cdots&&\cdots&\\ n&&n+1&&\cdots&&\cdots&&2n-2&&2n-1\\ \end{array}\]
A．$a_{100}=22$
B．$22$ 第一次出现是 $a_{100}$
C．$22$ 在 $\left\{a_{n}\right\}$ 中出现了 $ 11 $ 次
D．$S_{100}=1345$
在 $A,B,C$ 三个地区爆发了流感，这三个地区 $A,B,C$ 分别有 $6 \%,5 \%,4 \%$ 的人患了流感，假设这三个地区的人口数的比为 $5: 7: 8$，现从这三个地区中任意选取一个人，则下列叙述正确的是（ ）
A．这个人患流感的概率为 $ 0.15$
B．此人选自 $A$ 地区且患流感的概率为 $0.0375$
C．如果此人患流感，此人选自 $A$ 地区的概率为 $\dfrac{30}{97}$
D．如果从这三个地区共任意选取 $100 $ 人，则平均患流感的人数为 $4$ 人
已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^x-x-m$（$x \in \mathbb{R}$），$g(x)=\sin x-\cos x$（$x \geqslant 0$），则下列说法正确的是（ ）
A．若 $f(x)$ 有两个零点，则 $m>1$
B．若 $x_1 \neq x_2$ 且 $f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)$，则 $x_1+x_2<0$
C．函数 $y=g(x)$ 在区间 $\left[0, \dfrac{5 \pi}{4}\right]$ 有两个极值点
D．过原点的动直线 $l$ 与曲线 $y=g(x)$ 相切，切点的横坐标从小到大依次为：$x_1, x_2, \cdots, x_n$．则 $x_n=\tan \left(x_n-\dfrac{\pi}{4}\right)$
设数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，$ a_1=1$，且 $2 S_n=a_{n+1}-1$（$n \in \mathbb{N}^{\ast}$）．若对任意的正整数 $n$，都有 $a_1 b_n+a_2 b_{n-1}+a_3 b_{n-2}+\cdots+a_n b_1=3^n-n-1$ 成立，则满足等式 $b_1+b_2+b_3+\cdots+b_n=a_n$ 的正整数 $n$ 的可能取值个数为（ ）
A．$1$
B．$2$
C．$3 $
D．$4 $
已知椭圆 $C:~\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}4=1$ 上一点 $P\left(2,\dfrac{2\sqrt 5}3\right)$，过点 $P$ 作圆 $O:~x^2+y^2=r^2$（$0<r<2$）的两条切线，分别交椭圆 $C$ 于与 $P$ 不同的点 $A,B$，若直线 $AB$ 也与圆 $O$ 相切，则 $r=$_______．
已知 $P(x_0,y_0)$ 是椭圆 $C:~\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）上一点，过 $P$ 作圆 $O:~x^2+y^2=r^2$（$0<r<b$）的两条切线分别交椭圆于与 $P$ 不同的点 $A,B$．
1、若 $AB$ 与圆 $O$ 相切，证明：当 $P$ 点在椭圆 $C$ 上运动时，$AB$ 与圆 $O$ 始终相切．
2、我们称第 $(1)$ 小题中的圆 $O$ 对椭圆 $C$ 具有闭合性质，求对椭圆具有闭合性质的圆的半径 $r$（用 $a,b$ 表示）．
3、与第 $(2)$ 小题类似，若曲线 $C':\dfrac{x^2}{m^2}+\dfrac{y^2}{n^2}=1$（$m,n>0$）对曲线 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>m$，$b>n$）具有闭合性质，则 $\dfrac ma+\dfrac nb=1$．
已知函数 $f(x)={\rm e}^x\cdot\sin (rx)$（$r\in\mathbb N^{\ast}$）．
1、若 $r=1$，求函数 $f(x)$ 的单调区间．
2、证明：对于任意的正实数 $M$，总存在大于 $M$ 的实数 $a,b$，使得当 $x\in[a,b]$ 时，$|f(x)|\leqslant 1$．
1定义：对于定义在区间 $I$ 上的函数 $f(x)$ 和正数 $\alpha$（$0<\alpha \leqslant 1$），若存在正数 $M$，使得不等式 $\left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right| \leqslant M\left|x_{1}-x_{2}\right|^{\alpha}$ 对任意 $x_{1}, x_{2} \in I$ 恒成立，则称函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上满足 $\alpha$ 阶李普希兹条件，则下列说法正确的有（ ）
A．函数 $f(x)=\sqrt{x}$ 在 $[1,+\infty)$ 上满足 $\dfrac{1}{2}$ 阶李普希兹条件
B．若函数 $f(x)=x \ln x$ 在 $[1, \mathrm{e}]$ 上满足一阶李普希兹条件，则 $M$ 的最小值为 $2$
C．若函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上满足 $M=k$（$0<k<1$）的一阶李普希兹条件，且方程 $f(x)=x$ 在区间 $[a, b]$ 上有解 $x_{0}$，则 $x_{0}$ 是方程 $f(x)=x$ 在区间 $[a, b]$ 上的唯一解
D．若函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上满足 $M=1$ 的一阶李普希兹条件，且 $f(0)=f(1)$，则存在满足条件的函数 $f(x)$，存在 $x_{1}, x_{2} \in[0,1]$，使得 $\left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right|=\dfrac{2}{3}$
