已知正四棱锥 $O-A B C D$ 的底面边长为 $\sqrt{6}$，高为 $ 3$．以点 $O$ 为球心，$\sqrt{2}$ 为半径的球 $O$ 与过点 $A, B, C, D$ 的球 $O_1$ 相交，相交圆的面积为 $\pi$，则球 $O_1$ 的半径可能为（ ）
A．$\dfrac{\sqrt{13}}{2}$
B．$\sqrt{3}$
C．$\sqrt{6}$
D．$\dfrac{\sqrt{97}}{4}$
一部电视连续剧共有 $n+1$（$n \geqslant 10$）集，某同学看了第一集后，被该电视剧的剧情所吸引，制定了如下的观看计划：
① 从看完第一集后的第一天算起，把余下的 $n$ 集电视剧随机分配在 $2 n$ 天内；
② 每天要么不看，要么看完完整的一集；
③ 每天至多看一集． 已知这部电视剧最 精彩的部分在第 $n$ 集，
设该同学观看第一集后的第 $X$ 天观看该集．
1、写出 $X$ 的分布列，并证明：最有可能在第 $(2 n-2)$ 天观看最精彩的第 $n$ 集．
2、求 $E(X)$．
函数 $f(x)=\left(x+\dfrac{a}{x}\right) \ln |x|+b$（$a, b \in \mathbb{R}$），则（ ）
A．$\exists a \in \mathbb{R}$，使得 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上递减
B．$\exists a, b \in \mathbb{R}$，使得直线 $y=2 x-1$ 为曲线 $y=f(x)$ 的切线
C．$\exists a \in \mathbb{R}$，使得 $b$ 既为 $f(x)$ 的极大值也为 $f(x)$ 的极小值
D．$\exists a, b \in \mathbb{R}$，使得 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上有两个零点 $x_1, x_2$，且 $x_1 x_2=1$
已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb{R}$，若函数 $f(2 x+1)$ 为奇函数，且 $f(4-x)=f(x)$，$\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{2023} f(k)=1$，则 $f(0)=$ （ ）
A．$-1$
B．$0$
C．$1$
D．$2$
函数 $f(x)=\dfrac{\ln x}{x+1}$ 在区间 $[t,+\infty)$（$t \in \mathbb{N}^{*}$）上存在极值，则 $t$ 的最大值为（ ）
A．$2$
B．$3$
C．$4$
D．$5$
已知双曲线 $C_{1}:~ \dfrac{x^{2}}{a^{2}}=\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$（$a>0$，$ b>0$）与抛物线 $C_{2}:~ y^{2}=2 p x$（$p>0$）有公共焦点 $F$，过点 $F$ 作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点 $A$，延长 $F A$ 与拋物线 $C_{2}$ 相交于点 $B$，若 点 $A$ 为线段 $F B$ 的中点，双曲线 $C_{1}$ 的离心率为 $e$，则 $e^{2}=$ （ ）
A．$\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}$
B．$\dfrac{\sqrt{5}+\dfrac{1}{2}}{2 }$
C．$\dfrac{\sqrt{5}+1}{3}$
D．$\dfrac{\sqrt{5}+2}{3}$
对于定义在区间 $D$ 上的函数 $f(x)$，若满足：$\forall x_{1},x_{2} \in D$ 且 $x_{1}<x_{2}$，都有 $f\left(x_{1}\right) \leqslant f\left(x_{2}\right)$，则称函数 $f(x)$ 为区间 $D$ 上的“非减函数”，若 $f(x)$ 为区间 $[0,2]$ 上的“非减函数”，且 $f(2)=2$，$ f(x)+f(2-x)=2$，又当 $x \in\left[\dfrac{3}{2}, 2\right]$ 时，$f(x) \leqslant 2(x-1)$ 恒成立，下列命题中正确的有（ ）
A．$f(1)=1$
B．$\exists x_{0} \in\left[\dfrac{3}{2}, 2\right], ~f\left(x_{0}\right)<1$
C．$f\left(\dfrac{1}{4}\right)+f\left(\dfrac{2}{3}\right)+f\left(\dfrac{25}{18}\right)+f\left(\dfrac{7}{4}\right)=4$
D．$\forall x \in\left[0, \dfrac{1}{2}\right], \quad f(f(x)) \leqslant-f(x)+2$
在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知 $A(3,0)$，$B(0, t)$（$t>0$），若该平面中不存在点 $P$，同时满足两个条件 $|P A|^{2}+2|P O|^{2}=12$ 与 $|P O|=\sqrt{2}|P B|$，则 $t$ 的取值范围是（ ）
A．$\left(0, \dfrac{\sqrt{6}}{2}-1\right)$
B．$\left(\dfrac{\sqrt{6}}{2}+1,+\infty\right)$
C．$\left(\dfrac{\sqrt{6}}{2}-1, \dfrac{\sqrt{6}}{2}+1\right)$
D．$\left(0, \dfrac{\sqrt{6}}{2}-1\right) \cup\left(\dfrac{\sqrt 6}2+1,+\infty\right)$
已知 $F_1, F_2$ 分别是双曲线 $C:~ \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的左、右焦点，点 $P$ 在双曲线上，$P F_1 \perp P F_2$，圆 $O: x^2+y^2=\dfrac{9}{4}(a^2+b^2)$，直线 $P F_1$ 与圆 $O$ 相交于 $A, B$ 两点，直线 $P F_2$ 与圆 $O$ 相交于 $M, N$ 两点．若四边形 $A M B N$ 的面积为 $9 b^2$，则 $C$ 的离心率为（ ）
A．$\dfrac{5}{4}$
B．$\dfrac{8}{5}$
C．$\dfrac{\sqrt{5}}{2}$
D．$\dfrac{2 \sqrt{10}}{5}$
已知 $a>0$，$\mathrm{e}^a+\ln b=1$，则（ ）
A．$a+\ln b<0$
B．$\mathrm{e}^a+b>2$
C．$\ln a+\mathrm{e}^b<0$
D．$a+b>1$
